分離公理

この記事では, 分離公理について下記の関係が成り立つことを述べる.

距離空間 $\Rightarrow$ 正規 $\Rightarrow$ 正則 $\Rightarrow$ ハウスドルフ $\Rightarrow$ $T_1$

定義

$T_1$

定義
位相空間の１点集合 $\{a\}$ が常に閉集合であるとき, $X$ は $T_1$ 空間であるという.

ハウスドルフ

定義
位相空間 $X$ が次の条件を満たすとき, $X$ は $T_2$-空間, またはハウスドルフ空間という.
任意の相異なる２点 $p, q\in X$ に対して, ある $p$ の開近傍 $U$ と $q$ の開近傍 $V$ が存在して, $U\cap V = \emp$ を満たす.

定理
ハウスドルフ空間 $X$ は $T_1$ 空間である.

▼ 証明

[証明]
任意の $a\in X$ をとり, $\{a\}$ が $X$ の閉集合であることを示す.
任意の $b\in X\sm\{a\}$ をとる.
$X$ はハウスドルフなので, ある開集合 $U,V$ が存在して,
$\ \ \ a\in U,\ b\in V,\ U\cap V=\emp$
を満たす.
$b\in V\subset X\sm\{a\}$ なので, $b$ は $X\sm\{a\}$ の内点である.
従って, $X\sm\{a\}$ は開集合なので, $\{a\}$ は閉集合である.
[終了]

正則

定義
位相空間 $X$ が次の条件を満たすとき, $X$ は $T_3$-空間であるという.
$X$ の閉集合 $A$ と, $A$ に属さない点 $x\in X$ に対して, 次を満たす開集合 $U,V$ が存在する.
$\ \ \ A\subset U,\ \{x\}\subset V,\ $ $U\cap V=\emp.$
$T_1$ かつ $T_3$ を満たす位相空間を正則空間という.

※[内田]では $T_3$ 空間のことを正則空間といい, $T_1$ を含んでいない.

正則空間はハウスドルフである.
実際, 正則空間は $T_1$-空間なので, 1点集合は閉集合である.
従って, $A=\{y\}$ を考えればよい.

正規

定義
位相空間 $X$ が次の条件を満たすとき, $X$ は $T_4$-空間であるという.
位相空間 $X$ の互いに交わらない２つの閉集合 $A,B$ に対して, 次を満たす開集合 $U,V$ が存在する.
$\ \ \ A\subset U,\ B\subset V,\ $ $U\cap V=\emp.$
$T_1$ かつ $T_4$ を満たす位相空間を正規空間という.

※[内田]では $T_4$ 空間のことを正規空間といい, $T_1$ を含んでいない.

正規空間は正則空間である.
実際, $B=\{x\}$ を考えればよい.

距離空間

定理 [松坂 ６章定理５]
距離空間は正規である.

※この定理の証明は長く, 応用する場面は全然ないので読む必要はない.

まとめ

以上のことから次を得る.
「距離空間 $\Rightarrow$ 正規 $\Rightarrow$ 正則 $\Rightarrow$ ハウスドルフ $\Rightarrow$ $T_1$」
しかし, どの矢印も逆向きは成り立たない.
それらの反例は下記のとおり.

・$T_1$ だがハウスドルフでない空間の例
補有限位相が入った $\R$

・ハウスドルフだが正則でない空間の例
K-位相が入った $\R$

・正則だが正規でない空間の例
ゾルゲンフライ平面

・正規だが距離化可能でない空間
ゾルゲンフライ直線

※上記の反例はどれも位相空間論以外では使わないので, 証明を読む必要はない.