Takatani Note

ゾルゲンフライ平面【性質と証明】

$ \def\S{\mathbb{S}} \def\D{\Delta} \def\card{\mathrm{card}\ } $

この記事では『ゾルゲンフライ平面は正則だが正規でない』ことを示します。

はじめにゾルゲンフライ直線およびゾルゲンフライ平面の定義から始めます。

定義

ゾルゲンフライ直線

定義
$\R$ において, 左半開区間の全体を $\B_l$ とおく: $$ \B_l:=\{ [a,b) \sub\R\mid a,b \in \R, a< b\}. $$ この開基 $\B_l$ によって生成される位相を下限位相(lower limit topology)といい, $\O_l$ で表す.
位相空間 $(\R,\O_l)$ をゾルゲンフライ直線(Sorgenfrey line)という. 本記事では $(\R,\O_l)$ を $\S$ で表すことにする.

詳細記事:ゾルゲンフライ直線

ゾルゲンフライ平面

定義
ゾルゲンフライ直線 $\S$ の直積空間 $\S\times\S$ を ゾルゲンフライ平面(Sorgenfrey plane)という. $\S\times\S$ の位相を本記事では $\O_{\S\times\S}$ で表す.

※$\B=\{ [a,b)\times [c,d)$ $\in \S\times \S$ $\mid a,b,c,d\in \S\}$ は $\O_{\S\times\S}$ の開基である.

※ゾルゲンフライ平面は明らかにハウスドルフ空間なので, 特に $T_1$ 空間である.

性質

反対角集合は離散空間

定理
$\S\times\S$ の部分空間 $$ \D:=\{(x, -x) \in \S\times\S \mid x\in \S\} $$ は離散空間である. この $\D$ を反対角集合(anti-diagonal)という.

[証明]  $(x,-x)\in \D$ とする. このとき, $$ V:=[x,x+1)\times[-x,-x+1) $$ は $\S\times\S$ の開集合である. $$ \D \cap V=\{(x,-x)\} $$ なので, 相対位相の定義により, 一点集合 $\{(x,-x)\}$ は $\D$ の開集合である. よって $\D$ は離散空間である.

正則である

定理
$\S\times\S$ は正則である.

[証明]  $A$ を $\S\times\S$ の閉集合とし, $p:=(x,y)\in A^c$ とする. $A^c$ は開集合なので, $\e>0$ を十分小さくとると, $$ V:=[x,x+\e)\times [y,y+\e) \sub A^c $$ が成り立つ. このとき, $A \sub V^c$ であり, ($V$ は開かつ閉なので,) $V^c$ は開集合である. そして, $$ A \sub V^c,\ \ \ p\in V,\ \ \ V^c \cap V=\emp $$ が成り立つ. よって $\S\times\S$ は正則である.

正規でない

$\S\times\S$ が正規でないことを示すために, いくつか準備をする.

定義
集合 $A$ の濃度を $\card A$ で表す.
$X,Y$ を集合とするとき,
$C(X,Y)$ を連続写像 $f:X\to Y$ の全体とする.
$F(X,Y)$ を写像 $f:X \to Y$ の全体とする.

補題
$\card C(\D,\R) > \card\R \ (=2^{\aleph_0}).$

[証明]  反対角集合 $\D$ は離散空間であることから, $$ \card C(\D,\R)= \card F(\D,\R)= F(\R,\R). $$ また, 集合の濃度の性質により, $$ \card F(\R,\R) > \card \R. $$ よって, $\card C(\D,\R) > \card\R.$

定理 (ティーツェの拡張定理)
$X$ を正規空間とし, $A$ を $X$ の閉集合とする. このとき, $A$ 上の任意の実連続関数は $X$ 上の実連続関数に拡張できる.

[証明]  [内田 定理29.5]参照.

これで準備が終わったので証明しよう.

定理
$\S\times\S$ は正規でない.

[証明]  可算集合 $$ \G:=\{(p,q)\in \S\times\S \mid p,q\in\Q \} $$ は $\S\times\S$ において稠密である. 従って, すべての連続関数 $f:\S\times\S\to \R$ は $S$ 上の制限写像によって決定される. 従って, $$ \card C(\S\times\S,\R) =\card C(\G,\R). $$ また, 明らかに, $$\card C(\G,\R) \leq \card F(\Q^2,\R). $$ 上式右辺は $2^{\aleph_0}$ に等しい. 実際, $$\eq{ F(\Q^2,\R) &\sim F(\N,\R)\sim F(\N,2^\N) \sim F(\N,F(\N,\{0,1\})) \\ & \sim F(\N\times \N,\{0,1\}) \sim F(\N,\{0,1\})= 2^\N }$$ である. 他方, 補題により, $$ \card C(\D,\R) > 2^{\aleph_0}. $$ 以上から $$ \card C(\D,\R) > \card C(\S\times\S,\R). $$ が得られる. ゆえに連続関数 $f:\D\to \R$ のうち, $\S\times\S$ 上の連続関数に拡張されないものが存在する.

もし, $\S\times\S$ が正規ならば, ティーツェの拡張定理により, $\D$ 上のすべての連続関数は $\S\times\S$ 上の連続関数に拡張されるはずである. ところが, それができないので, $\S\times\S$ は正規でない.

※一般に, 可分な位相空間が非可算な閉離散部分空間をもつならば, $X$ は正規でない.

ゾルゲンフライ平面の意義

ゾルゲンフライ平面は次が成り立つ.

ゾルゲンフライ平面は正則だが正規でない.

上記について補足しよう.
分離公理には下記の関係がある.

距離空間 $\Longrightarrow$ 正規 $\Longrightarrow$ 正則 $\Longrightarrow$ ハウスドルフ $\Longrightarrow$ $T_1$

しかし, 上記の矢印はどれも逆向きは成り立たない.
それぞれの反例は下記のとおり.

上記のとおり, 正規空間は正則だが, その逆は成り立たない.
ゾルゲンフライ平面はその反例になっている.

というわけで, ゾルゲンフライ直線は「分離公理に関する反例」として貴重な位相空間である.