補有限位相【性質と証明】

$ \def\U{\mathcal{U}} $

この記事では、下記を証明します。

上記の中で、重要なのは下記です。

上記について、いずれの性質も、それを満たす位相空間は非常に珍しいです。
詳しいことは記事の後半で説明します。

では、補有限位相の定義から始めます。

定義
実数の集合 $\R$ に次のような位相 $\O_C$ を入れる. $$ \O_C= \{U \sub \R \mid \R\sm U \te{は有限集合} \} \cup \{\emp\} $$ $\O_C$ を $\R$ の補有限位相(cofinite topology)という.

※$(\R,\O_C)$ の閉集合は有限集合または $\R$ 自身に限る.

問題
補有限位相が位相の公理を満たしていることを示せ.

▼ 解答: [解答]
(T1) $\emp,\R\in \O_C$ は明らか.

(T2) $U,V\in \O_C$ ならば, $U^c,V^c$ は有限集合なので, $(U\cap V)^c=U^c \cup V^c$ も有限集合である. ゆえに $U\cap V\in \O_C.$

(T3) $U_\l\in \O_C\ (\l\in \L)$ ならば, 各 $\l$ に対して $U_\l^c$ は有限集合なので, $(\bigcup_{\l\in\L}U_\l)^c =\bigcap_{\l\in\L}U_\l^c$ も有限集合である. ゆえに $\bigcup_{\l\in\L}U_\l\in \O_C.$

性質

$T_1$ 空間とは, １点集合 $\{a\}$ が常に閉集合であるような位相空間のことである.

定理
$(\R,\O_C)$ は $T_1$ 空間である.

[証明] 補有限位相の定義により, $(\R,\O_C)$ の閉集合は有限集合または $\R$ 自身に限る. １点集合 $\{a\}$ はもちろん有限集合なので閉集合である.

定理
$(\R,\O_C)$ はハウスドルフでない.

▼ 証明: [証明] $(\R,\O_C)$ がハウスドルフであると仮定する. このとき, 相異なる２点 $a, b\in \R$ をとれば, $$ a\in U,\ \ \ b\in V, \ \ \ U\cap V=\emp $$ を満たす開集合 $U,V\in \O_C$ が存在する. すると, $V\sub \R\sm U$ であるから, $V$ は有限集合である. 従って $\R\sm V$ は無限集合である. これは $V$ が開集合であることに矛盾する.

したがって $(\R,\O_C)$ は $T_1$ だがハウスドルフでない空間である.

定理
$(\R,\O_C)$ は第１可算公理を満たさない.

▼ 証明: [証明] 点 $x\in \R$ を固定し, $x$ の可算な基本近傍系 $\U$ が存在すると仮定する. $\U$ は可算なので, $\U=(U_n)_{n\in\N}$ と表せる. (各 $n$ に対して $x\in U_n$ かつ $U_n\in \O_C$ に注意.) $$ A=\bigcap_{n\in \N}{U_n} $$ とおく. 今から, $A\sm \{x\}$ が空集合でないことを示す. ド・モルガンの法則により, $$ A^c=\ds\bigcup_{n\in\N}{U_n^{\ c}}. $$ $U_n^{\ c}$ は有限集合なので, $A^c$ は高々可算である.
従って, $A^c\cup \{x\}$ も高々可算である. ゆえに, ($\R$ は非可算なので) $$ A^c\cup \{x\}\neq \R. $$ よって $A\sm \{x\}$ は空でない.

次に $y\in A\sm\{x\}$ をとる. すると, $y\in U_n\ (\all n)$ だから $U_n \not\subset \R\sm\{y\}\ (\all n)$ が成り立つ. ところが, 補有限位相の定義により, $\R\sm\{y\}$ は $x$ の開近傍である. 基本近傍系の定義から, $U_n\subset \R\sm\{y\}$ となる $U_n\in \U$ があるはずである. 従って矛盾が得られた.

定理
$(\R,\O_C)$ はコンパクトである.

▼ 証明: [証明] $\U$ を $\R$ の任意の開被覆とする. $\U$ の中から空でない開集合 $U$ をとる. このとき, $\R\sm U$ は有限集合なので, $$ \R\sm U=\{x_1,\cd, x_n\} $$ と表せる. ($\U$ は $\R$ の被覆なので,) 各 $i=1,\cd,n$ に対して, $x_i\in U_i$ となる $U_i\in \U$ がとれる. 従って, $$ \U^*=\{U,U_1,\cdots,U_n\} \sub \U $$ とおけば, $\U^*$ は $\R$ の有限被覆である. よって, $(\R,\O_C)$ はコンパクトである.

定理
$(\R,\O_C)$ は可分である.

[証明] $(\R,\O_C)$ において無限集合かつ閉集合なのは $\R$ のみである. 従って $\Q$ の閉包は $\R$ となる. ゆえに $(\R,\O_C)$ は可分である.

冒頭で述べたとおり, 補有限位相が入った $\R$ は次の性質をもつ.

上記について補足する.

分離公理には下記の関係がある.

距離空間 $\Longrightarrow$ 正規 $\Longrightarrow$ 正則 $\Longrightarrow$ ハウスドルフ $\Longrightarrow$ $T_1$

しかし, 上記の矢印はどれも逆向きは成り立たない.
それぞれの反例は下記のとおり.

というわけで, 補有限位相は「分離公理に関する反例」にもなる.

たいていの位相空間は第１可算公理を満たす.
例えば、離散空間 $\R$ や密着空間 $\R$ のようなヘンテコな空間でさえも第１可算公理を満たす.

一方, 第１可算公理を満たさない位相空間は見つけるのが難しい.
その点, 補有限位相は第１可算公理を満たさない例を作れるので有用である.

まとめると, 次の２点である.

補有限位相に似た位相としてザリスキ位相(Zariski topology)というのがある.
ザリスキ位相は可換環論や代数幾何学で出てくる.