Takatani Note

Ｋ位相【性質と証明】

この記事では、Ｋ位相(K-topology)について下記を証明します。

上記より、Ｋ位相は次の性質を持ちます。

上記について、いずれの性質も、それを満たす位相空間は珍しいです。
詳しいことは記事の後半で説明します。

では、Ｋ位相の定義から始めます。

定義
$K=\{1/n\mid n\in \N\},$
$\B=\{(a,b)\subset \R\mid a,b\in \R\}\cup \{(a,b)-K\subset \R\mid a,b\in \R\}$
と定義する.
このとき, 開基 $\B$ によって生成される位相 を Ｋ位相 (K-topology)といい, このサイトでは $\O_K$ と表す.

位相空間 $(\R, \O_K)$ を簡単に $\R_K$ で表すことにする.
一方で, $\R$ の通常の位相を $\O_E$ とし, 位相空間 $(\R, \O_E)$ を簡単に $\R_E$ で表すことにする. ($E$ は Euclidの頭文字.)

注意
・開基 $\B$ より, Ｋ位相は通常の位相より大きい.
・Ｋ位相において $K$ は $\R$ の閉集合である.
(※通常の位相において $K$ は $\R$ の閉集合である.)

Ｋ位相の性質

ハウスドルフである

定理
$\R_K$ はハウスドルフ空間である.

[証明]
Ｋ位相は通常の位相より大きいのでハウスドルフである.

正則でない

定理
$\R_K$ は正則でない.

[証明]
閉集合 $K$ と $\{0\}$ は開集合で分離できないことを示せばよい.
そのために, 次を満たす $\R_K$ の開集合 $U,V$ が存在すると仮定して矛盾を導く.
$\{0\} \subset U, \ K\subset V,$ かつ $U\cap V = \emp.$

開基の定義より $0\in U_0 \subset U$
を満たす $U_0\in \B$ が存在する.
$U_0$ は 開区間 $(a,b)$ または $(a,b)\setminus K$ の形に表される.

仮に, $U_0=(a,b)$ と表せるとしよう.
$b > 0$ より $U_0\cap K\neq \emp$ となる.
つまり $U\cap V \neq \emp$ なので矛盾する.
従って, $U_0=(a,b)-K$ という形になる.

$1/N < b$ を満たす正の整数 $N$ をとる.
開基の定義より $1/N\in V_N \subset V$ を満たす $V_N\in \B$ が存在する.
$V_N$ は開区間 $(c,d)\ (d< b)$ の形に表せる.

ここで, $1/N< s < d$ を満たす無理数 $s$ をとると, $s\in U_0\cap V_N$
従って, $U\cap V\neq \emp.$
これは最初の仮定に矛盾する.

以上から, K位相が入った $\R$ はハウスドルフだが正則でない.

連結だが弧状連結でない

連結である

定理
$\R_K$ は連結である.

[証明]
$\R^+\!=(0,\infty),\ \ \R^-\!=(-\infty,0)$ とする.
$\R_E-\{0\}$ と $\R_K-\{0\}$ は同相であるので, $\R^+,\ \R^-$ はともに連結である.

$\R_K$ が連結でないと仮定する.
言い換えると, 次が成り立つ $\R_K$ の開集合 $A,B$ が存在すると仮定する.
$\ \ \ \R_K=A\cup B,\ A\cap B=\emp,\ A\neq \emp,\ B\neq \emp.$

和集合と共通部分の性質より
$\ \ \ \R^+=(A\cup B)\cap\R^+=(A\cap \R^+)\cup (B\cap \R^+).$
$U=A\cap \R^+, V=B\cap \R^+$ とおく.
$U, V$ は $\R^+$ の開集合であり, さらに,
$\R^+=U\cup V,\ U \cap V= \emp, \ A\neq \emp, \ B\neq \emp$
が成り立つ.
$\R^+$ は連結なので, $U=\R^+$ または $V=\R^+.$
対称性から $U=\R^+$ としても一般性を失わない.
このとき $\R^+ \subset A.$

$\R^-$ の場合も同様にして, $\R^-\subset A$ または $\R^-\subset B.$
もし, $\R^- \subset A$ ならば $\R^+ \subset A$ より, $\R-\{0\}\subset A.$
従って $B\neq \emp$ より $B=\{0\}.$
ところが, $\{0\}$ は $\R_K$ の開集合でないので矛盾する.

一方で $\R^-\subset B$ ならば
「$A=(-\infty,0)$ かつ $B=[0,\infty)$」 または
「$A=(-\infty,0]$ かつ $B=(0,\infty)$」.
前者は $B$ が開集合でなく, 後者は $A$ が開集合でない.
これは矛盾する.
(なお, $(-\infty,0]$ と $[0,\infty)$ が $\R_K$ の開集合でないことは, 背理法で容易に示せる.)
以上から $\R_K$ は連結である.

弧状連結でない

定理
$\R_K$ は弧状連結でない.

[証明]
$\R_K$ は弧状連結と仮定する.
このとき, 次を満たす連続写像 $f:$ [$0,1$]$\to \R_K$ が存在する.
$f(0)=0,\ f(1)=1.$

$C:=f([0,1])$ とおく.
コンパクト空間の連続像はコンパクトなので $C$ はコンパクトである.
※ [0,1]は通常の位相が入った空間なのでコンパクトである.
なお [0,1]はK-位相であればコンパクトでない.

今から, $[0,1] \subset C$ を示す.
$\O_E\subset \O_K$ より, 恒等写像 $i:\R_K\to \R_E$ は連続である.
すると, $i\circ f:$[$0,1$]$\to \R_E$ も連続である.
中間値の定理より
$[0,1]\subset (i \circ f)([0,1])$
である. さらに
$(i \circ f)([0,1])=i(C)=C.$
従って, $[0,1] \subset C.$
ゆえに, $K\subset [0,1]$ より $K\subset C.$

ここで, 「コンパクト空間の閉集合はコンパクトである」を思い出そう.
すると, $C$ はコンパクトであり, $K$ は $C$ の閉集合であるので, $K$ はコンパクトである.
※ $K$ は $\R_K$ の閉集合なので相対位相の定義より, $K$ は $C$ の閉集合である.

ところが次の補題より, $K$ は離散空間かつ無限集合なのでコンパクトでない.
こうして矛盾が得られたので証明は完了した.

補題
$\R_K$ の部分空間 $K$ は離散位相空間である.

[証明]
任意の $n\in \N$ をとる.
$\ \ \ \varepsilon =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$
とおく. 開区間
$\ \ \ I:=\left(\dfrac{1}{n}-\varepsilon,\ \dfrac{1}{n}+\varepsilon\right)$
は $\R_K$ の開集合であり, さらに
$\ \ \ K\cap I=\{1/n\}.$
従って, 相対位相の定義より $\{1/n\}$ は $K$ の開集合である.
よって, $K$ は離散空間である.

【おまけ】閉区間[0,1]はコンパクトでない

定理
K-位相が入った $\R_K$ の部分空間 $[0,1]$ はコンパクトでない.

[証明]
$[0,1]$ がコンパクトであると仮定しよう.
$K$ は $[0,1]$ の閉集合なので $K$ はコンパクトである.
しかし上の補題より, $K$ は離散空間であり無限集合であるので, $K$ はコンパクトでない.
これは矛盾する.

Ｋ位相の意義

冒頭で述べたとおり, Ｋ位相が入った $\R$ は次の性質をもつ.

上記について補足する.

ハウスドルフだが正則でない

分離公理には下記の関係がある.

距離空間 $\Longrightarrow$ 正規 $\Longrightarrow$ 正則 $\Longrightarrow$ ハウスドルフ $\Longrightarrow$ $T_1$

しかし, 上記の矢印はどれも逆向きは成り立たない.
それぞれの反例は下記のとおり.

というわけで, K位相は「分離公理に関する反例」にもなっている.

連結だが弧状連結でない

位相の教科書より「弧状連結な位相空間は連結である」という定理が成り立つけども, その逆は成り立たない. $K$ 位相が入った $\R$ はその反例になっている.

ただ, 連結だが弧状連結でない空間はＫ位相以外にも例がある.
例えば, [松坂]や[内田]にはそれぞれＫ位相とは別の位相空間を扱っている.

なので, 「連結だが弧状連結でない」という性質は前述の「ハウスドルフだが正則でない」よりも重要ではない.