固有値と固有多項式【性質】
$ \def\a{\alpha} \def\p{\bm{p}} \def\go{\Rightarrow} \def\co{\Leftarrow} \def\tiff{\Longleftrightarrow} $
この記事では、固有値と固有多項式の性質をまとめています。
はじめに固有値、固有多項式などの定義を確認しておきます。
以下, $I$ を単位行列とする.
定義
$A\in M_n(\C)$ とする. 複素数 $\a$ が
$A$ の固有値(eigenvalue)であるとは,
$$ \exists \x\in \C^n \sm \{\0\},\ \ \ A\x=\a\x. $$
が成り立つことである.
定義
$A\in M_n(\C)$ とする. $n$ 次多項式
$$ \Phi_A(x):=\det(xI-A) $$
を $A$ の固有多項式(characteristic polynomial)という.
また, $x$ に関する $n$ 次方程式
$\det(xI-A)=0$
を固有方程式(characteristic equation)という.
定義
$A\in M_n(\C)$ とし, $\a\in \C$ を $A$ の固有値とする.
$$ W(\a):=\Ker(A-\a I)=\{\x\in \C^n \mid A\x=\a\x \} $$
を固有値 $\a$ に対する固有空間(eigenspace)という.
性質
固有値
固有値を求めるには次の定理を用いる.
定理
$A\in M_n(\C)$ とし, $\a\in \C$ とする. このとき,
$\a$ が $A$ の固有値 $\iff$ $\det(\a I-A)=0.$
- ▼ 証明
- [証明] $$\eq{ & \text{$\a$ が $A$ の固有値である} \\[2pt] \iff & \exists \x\in \C^n \sm \{\0\},\ \ \ A\x=\a\x \\[2pt] \iff & \exists \x\in \C^n \sm \{\0\},\ \ \ (A-\a I)\x=\0 \\[2pt] \iff & \text{$(A-\a I)$ は正則行列でない} \\[2pt] \iff & \det(A-\a I)=0. }$$ (※最後の同値変形については行列式の性質参照.)
上の定理から次がわかる.
『行列 $A\in M_n(\C)$ の固有値全体は固有方程式
$\det(xI-A)=0$ の解全体である.』
定理
$A\in M_n(\C)$ とし, $A$ の固有方程式
$\det(xI-A)=0$ の解を $\a_1,\cd,\a_n$ とする.
このとき,
(1) $\tr(A)=\a_1+\cd +\a_n.$
(2) $\det(A)=\a_1 \a_2 \cd \a_n.$
- ▼ 証明
-
[証明]
(1) $A=(a_{ij})$ とすれば
$$ \det(x I-A)=
\md{ x-a_{11} & -a_{12} & \cd & -a_{1n}
\cr -a_{21} & x-a_{22} & \cd & -a_{2n}
\cr \vdots & \vdots & & \vdots
\cr -a_{n1} & -a_{n2} & \cd & x-a_{nn}
}$$
である. $\Phi_A(x)$ における $x^{n-1}$ の係数を考えてみよう.
右辺を行列式の定義に従って展開したとき,
対角成分の積
$(x-a_{11})(x-a_{22})\cd(x-a_{nn})$
以外の項から $x^{n-1}$ は現れない. したがって,
$x^{n-1}$ の係数は
$-(a_{11}+a_{22}+ \cd +a_{nn})=-\tr(A)$ である.
他方, $\a_1,\cd,\a_n$ は $\Phi_A(x)$ の根であるから, $$ \det(xI-A)=(x-\a_1)\cd (x-\a_n) $$ と分解できる. 右辺について $x^{n-1}$ の係数は $-(\a_1+\cd+\a_n)$ である. ゆえに $\tr(A) =\a_1+\cd+\a_n.$
(2) $\Phi_A(x)=\det(xI-A)$ であるから, $\Phi_A(0)=\det(-A)=(-1)^n\det A.$ 一方, $\Phi_A(x)=(x-\a_1)\cd(x-\a_n)$ であるから, $\Phi_A(0)=(-1)^n \a_1\cd\a_n.$ ゆえに $\det A=\a_1\cd\a_n.$
定理 (正規行列)
$A\in M_n(\C)$ について,
(1) $A$ がエルミート行列 $\iff$ $A$ の固有値はすべて実数.
(2) $A$ が歪エルミート行列 $\iff$ $A$ の固有値はすべて純虚数.
(3) $A$ がユニタリ行列 $\iff$ $A$ の固有値はすべて絶対値
$1$ の複素数.
[証明]
正規行列参照.
定理
行列 $A\in M_n(\C)$ に対して, 次の三条件は互いに同値である.
(1) $A$ は対角化可能.
(2) $A$ の固有ベクトルの中から, $n$ 個の線形独立な
$\x_1,\cd,\x_n$ が選べる.
(3) $A$ の相異なる固有値全体が
$\a_1,\a_2,\cd,\a_s$ であれば,
$$ \C^n=W(\a_1)\oplus \cd \oplus W(\a_s). $$
[証明]
固有空間と固有ベクトル参照.
固有多項式
定理
行列 $A,B\in M_n(\C)$ が相似ならば,
$\Phi_A(x)=\Phi_B(x)$ である.
したがって, $A,B$ の固有値は一致する.
とくに $\tr(A)=\tr(B),\ $ $\det(A)=\det(B).$
- ▼ 証明
- [証明] $A$ と $B$ とは相似なので, ある正則行列 $P\in M_n(\C)$ があって, $B=P^{-1}AP$ となる. 行列式の性質により, $$\eq{ \Phi_B(x) & =|xI-B|=|xI-P^{-1}AP|=|P^{-1}(xI-A)P| \\[3pt] & =|P^{-1}||xI-A||P|=|xI-A|=\Phi_A(x). }$$
定理 (フロベニウスの定理)
$A\in M_n(K)$ とし,
$A$ の固有値を $\a_1,\a_2,\cd,\a_n$ とする.
$\rho(x)\in K[x]$ を $0$ でない多項式とする.
このとき, 行列 $\rho (A)$ の固有値は
$\rho(\a_1),\rho(\a_2),\cdots,\rho(\a_n)$ である.
[証明]
三角化定理参照.
定理 (ケーリー-ハミルトンの定理)
行列 $A\in M_n(K)$ の固有多項式 $\Phi_A(x)$ に対して
$\Phi_A(A)=O.$
[証明]
ケーリー-ハミルトンの定理参照.
固有多項式と最小多項式
定理
行列 $A\in M_n(\C)$ の固有多項式が
$$ \Phi_A(x)=\prod_{i=1}^s(x-\a_i)^{n_i}
\ \ \ \ \ (n_i \geq 1)$$
であるとする. ただし, $\a_1,\cd,\a_s$ は相異なる複素数である.
このとき, $A$ の最小多項式は
$$ \phi_A(x)=\prod_{i=1}^s(x-\a_i)^{m_i}
\ \ \ \ \ (1\leq m_i \leq n_i) $$
の形となる.
[証明]
最小多項式参照.