ケーリー・ハミルトンの定理【証明】

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この記事では、次のケーリー・ハミルトンの定理(Cayley-Hamilton theorem)について証明を解説し、応用を紹介します。

定理(ケーリー・ハミルトンの定理)
$A$ を $n$ 次正方行列とし, ${\mathrm{\Phi }}_A(x)$ を $A$ の固有多項式とする.
このとき, ${\mathrm{\Phi }}_A(A)=0.$

証明のやり方はいくつかありますが、ここでは比較的簡単な「三角化による証明」を紹介します。

証明

３次行列の場合

いきなり一般の場合の証明を読んでも理解しにくいと思うので, まずは３次元の場合を証明する.

定理
$A\in M_3(\mathbb{C})$ とし, ${\mathrm{\Phi }}_A(x)$ を $A$ の固有多項式とする. このとき ${\mathrm{\Phi }}_A(A)=0.$

[証明]  三角化定理により, $P^{-1}AP$ が上三角行列となるような正則行列 $P$ が存在する. $P$ の列ベクトルを ${\mathit{p}}_1,{\mathit{p}}_2,{\mathit{p}}_3$ とすると, $$\begin{array}{rl}A({\mathit{p}}_1{\mathit{p}}_2{\mathit{p}}_3)& =({\mathit{p}}_1{\mathit{p}}_2{\mathit{p}}_3)\left(\begin{array}{ccc}\alpha & s& t\\ 0& \beta & q\\ 0& 0& \gamma \end{array}\right)\\ & =(\alpha {\mathit{p}}_{1}s{\mathit{p}}_1+\beta {\mathit{p}}_{2}t{\mathit{p}}_1+q{\mathit{p}}_2+\gamma {\mathit{p}}_3)\end{array}$$ という形に表せる. 固有多項式の性質により $${\mathrm{\Phi }}_A(x)={\mathrm{\Phi }}_{P^{-1}AP}(x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$$ なので, $${\mathrm{\Phi }}_A(A)=(A-\alpha I)(A-\beta I)(A-\gamma I).$$ ただし, $I$ は３次単位行列.
さて, ${\mathrm{\Phi }}_A(A)=0$ を示すには, ${\mathit{p}}_i(i=1,2,3)$ に対して $${\mathrm{\Phi }}_A(A)({\mathit{p}}_i)=0$$ となることを示せばよい. (なぜなら, もしそうであれば, 行列 ${\mathrm{\Phi }}_A(A)$ の線形性により すべての $\mathit{x}\in {\mathbb{C}}^3$ に対して ${\mathrm{\Phi }}_A(A)\mathit{x}=0$ となるからである.)
まず $A{\mathit{p}}_1=\alpha {\mathit{p}}_1$ であるから,
$$(A-\alpha I){\mathit{p}}_1=0.$$ したがって,
$${\mathrm{\Phi }}_A(A){\mathit{p}}_1=(A-\beta I)(A-\gamma I)(A-\alpha I){\mathit{p}}_1=0.$$ (※行列 $(A-\alpha I)$ と $(A-\beta I)$ と $(A-\gamma I)$ は 積について互いに可換.)
次に, $A{\mathit{p}}_2=s{\mathit{p}}_1+\beta {\mathit{p}}_2$ $⟺(A-\beta I){\mathit{p}}_2=s{\mathit{p}}_1$ であるから,
$$(A-\alpha I)(A-\beta I){\mathit{p}}_2=(A-\alpha I)(s{\mathit{p}}_1)=0.$$ $$\therefore {\mathrm{\Phi }}_A(A){\mathit{p}}_2=0.$$ 最後に $A{\mathit{p}}_3=t{\mathit{p}}_1+q{\mathit{p}}_2+\gamma {\mathit{p}}_3$ であるから,
$$\begin{array}{rl}& (A-\alpha I)(A-\beta I)(A-\gamma I){\mathit{p}}_3\\ =& (A-\alpha I)(A-\beta I)(t{\mathit{p}}_1+r{\mathit{p}}_2)\\ =& (A-\beta I)(A-\alpha I)(t{\mathit{p}}_1)+(A-\alpha I)(A-\beta I)(q{\mathit{p}}_2)\\ =& 0.\end{array}$$ $$\therefore {\mathrm{\Phi }}_A(A){\mathit{p}}_3=0.$$ 以上から ${\mathrm{\Phi }}_A(A)=0.$

一般の場合

定理
$A\in M_n(\mathbb{C})$ とし, ${\mathrm{\Phi }}_A(x)$ を $A$ の固有多項式とする. このとき ${\mathrm{\Phi }}_A(A)=0.$

[証明]  三角化定理により, $P^{-1}AP$ が上三角行列となるような正則行列 $P$ が存在する. $P$ の列ベクトルを ${\mathit{p}}_1,{\mathit{p}}_2,\cdots ,{\mathit{p}}_n$ とすると, $$A({\mathit{p}}_1,\cdots ,{\mathit{p}}_n)=({\mathit{p}}_1,\cdots ,{\mathit{p}}_n)\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1& & \ast \\ & \ddots & \\ O& & {\alpha }_n\end{array}\right)$$ という形になる. 固有多項式の性質により $${\mathrm{\Phi }}_A(x)={\mathrm{\Phi }}_{P^{-1}AP}(x)=(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)\cdots (x-{\alpha }_n).$$ $W_0=\{\mathbf{0}\},$ $W_i=\mathbb{C}{\mathit{p}}_1+\cdots +\mathbb{C}{\mathit{p}}_i(i=1,2,\cdots ,n)$ とおけば, $$\begin{array}{rl}& \{\mathbf{0}\}=W_0⫋W_1⫋W_2⫋\cdots ⫋W_n=V,\\ & A{\mathit{p}}_i={\alpha }_i{\mathit{p}}_i+{\mathit{w}}_{i-1},{\mathit{w}}_{i-1}\in W_{i-1}(i=1,2,\cdots ,n)\end{array}$$ が成り立つ. とくに $A{W}_i\subset W_i$ である. また, $(A-\alpha I){\mathit{p}}_i\in W_{i-1}$ であるから, $(A-{\alpha }_{i}I)W_i\subset W_{i-1}(i=1,2,\cdots n).$ したがって $$(A-{\alpha }_{1}I)\cdots (A-{\alpha }_{n-1}I)(A-{\alpha }_{n}I)W_n\subset W_0=\{\mathbf{0}\}$$ $V=W_n$ だから, これは $$(A-{\alpha }_{1}I)\cdots (A-{\alpha }_{n-1}I)(A-{\alpha }_{n}I)=O$$ を意味する. すなわち, ${\mathrm{\Phi }}_A(A)=O$ である.

ケーリー・ハミルトンの定理の応用

代数学で重要な「中山の補題」の証明に使われる.

中山の補題
$A$ を環, $I$ は $I\subset \mathrm{rad}(A)$ を満たす $A$ のイデアルとする.
$M$ を有限生成 $A$ 加群とする.
このとき, $M=IM$ ならば $M=0.$

[証明]  中山の補題【証明と応用】