コーシーの判定法【証明と例題】
$$ \newcommand{\att}{\bm{a}} $$
この記事では、コーシーの判定法(root test)を証明し, べき級数の収束・発散の判定問題と収束半径の計算問題を紹介します。
注意
以下、$\ds\sum_{n=1}^\iy$ を $\sum$
で表すことがあります。
コーシーの判定法
定理 (コーシーの判定法)
正項級数 $\sum a_n$ について
$$ \lim_{n\to \iy}\sqrt[n]{a_n}=r $$
となる $r$ が存在するとき, $0\leq r< 1$ ならば収束し,
$1< r\leq \iy$ ならば発散する.
- ▼ 証明
-
[証明]
$0\leq r<1$ の場合：
$r< \l< 1$ を満たす $\l\in \R$ をとる. 仮定より, 十分大きな $N\in \N$ をとると, $\all n\geq N,\ \sqrt[n]{a_n}< \l.$ すなわち, $n\geq N$ のとき, $$ a_n < \l^n $$ が成り立つ. $\sum \l^n$ は収束するから, 比較判定法より $\sum a_n$ も収束する.
$r>1$ の場合：
仮定より, 十分大きな $N\in\N$ をとると, $\all n\geq N,\ \sqrt[n]{a_n}> 1.$ すなわち, $n\geq N$ のとき, $$ a_n>1 $$ が成り立つ. よって, $\ds\lim_{n\to \iy}a_n\neq 0$ なので, $\sum a_n$ は発散する.
例題
収束・発散
例題
$\sum \le(1-\f{1}{n}\ri)^{n^2}$ の収束・発散を調べよ.
- ▼ 解答
-
[解答]
$a_n=\le(1-\f{1}{n}\ri)^{n^2}$ とおく. $$ \sqrt[n]{a_n}=\le(1-\f{1}{n}\ri)^n \to \f{1}{e} <1\ \ \ (n\to \iy). $$ よって, コーシーの判定法より $\sum a_n$ は収束する.
※$\ds\lim_{n\to\iy}\le(1-\f{1}{n}\ri)^n =\f{1}{e}$ の証明： $$\eq{ \le(1-\f{1}{n}\ri)^n & =\le( \f{n-1}{n} \ri)^n =\f{1}{(\tf{n}{n-1})^n} =\f{1}{(1+\tf{1}{n-1})^n} \\ & =\f{1}{(1+\tf{1}{n-1})^{n-1}(1+\tf{1}{n-1})} \\ & \to \f{1}{e\c 1}=\f{1}{e} \ \ \ (n\to \iy) }$$
例題
$\sum \f{n!}{n^n}$ の収束・発散を調べよ.
- ▼ 解答
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[解答]
$a_n=\f{n!}{n^n}$ とおく. $$ \sqrt[n]{a_n}=\f{\sqrt[n]{n!}}{n} \to \f{1}{e} <1\ \ \ (n\to \iy). $$ よって, コーシーの判定法より $\sum a_n$ は収束する.
※スターリングの公式： $$ n!\sim \r{2\pi n}\le(\f{n}{e}\ri)^n $$ より, $$ \f{\sqrt[n]{n!}}{n} \sim (2\pi n)^{1/2n}\f{1}{e} \to \f{1}{e}\ \ \ (n\to \iy). $$
収束半径
コーシーの判定法からただちに次の収束半径に関する事実が示される.
(※収束半径については収束半径の求め方【例題】参照.)
系
べき級数 $\sum a_nx^n$ について,
$$ r:=\lim_{n\to \iy}\sqrt[n]{|a_n|} $$
$(0\leq r\leq \iy)$ が存在するとき,
収束半径は $1/r$ である.
- ▼ 証明
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[証明]
$$ \lim_{n\to \iy}\sqrt[n]{|a_nx^n|} =r|x| $$ であるから, コーシーの判定法より, $\sum a_nx^n$ は $r|x|<1$ のとき絶対収束して, $r|x|>1$ のときは発散する. ゆえに, べき級数の収束半径は $1/r$ である.
この系を使えば次の例題が容易に解ける.
例題
次のべき級数の収束半径を計算せよ.
$\ds(1)\sum_{n=1}^\iy (1+1/n)^{n^2}x^n\ \ \ \ \ \
(2)\sum_{n=1}^\iy 3^{n^2}x^n$
- ▼ 解答
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[解答]
(1) $a_n=(1+1/n)^{n^2}$ とおく. $$ \sqrt[n]{|a_n|} =(1+1/n)^n \to e\ \ (n\to \iy). $$ 従って, コーシーの判定法の系より, べき級数の収束半径は $1/e$ である.
(2) $a_n=3^{n^2}$ とおく. $$ \sqrt[n]{|a_n|} =3^n \to \iy\ (n \to \iy). $$ 従って, コーシーの判定法の系より, べき級数の収束半径は $0$ である.