ダランベールの判定法【証明と例題】
$$ \newcommand{\att}{\bm{a}} $$
この記事では、ダランベールの判定法(ratio test)を証明し, べき級数の収束・発散の判定問題と収束半径の計算問題を紹介します。
注意
以下、$\ds\sum_{n=1}^\iy$ を $\sum$
で表すことがあります。
ダランベールの判定法
定理 (ダランベールの判定法)
正項級数 $\sum a_n$ について,
$$ \lim_{n\to \iy}\f{a_{n+1}}{a_n}=r $$
が存在するとき, $0\leq r< 1$ ならば収束し,
$1< r\leq \iy$ ならば発散する.
- ▼ 証明
-
[証明]
$0\leq r< 1$ の場合：
$r<\l< 1$ を満たす $\l\in \R$ をとる. 仮定より, 十分大きな $N\in\N$ をとると, $n\geq N$ のとき, $$ \f{a_{n+1}}{a_n} <\l $$ が成り立つ. したがって, $n\geq N$ のとき, $$ a_n=\f{a_n}{a_{n-1}}\c \f{a_{n-1}}{a_{n-2}} \c \cd \c \f{a_{N+1}}{a_N}\c a_N \leq a_N \l^{n-N}. $$ ゆえに, $n\geq N$ のとき, $$ a_n \leq (a_N\l^{-N})\l^n $$ が成り立つ. よって, $\sum \l^n$ は収束するから, 比較判定法より, $\sum a_n$ も収束する.
$r> 1$ の場合：
仮定より, 十分大きな $N\in\N$ をとると, $n\geq N$ のとき, $$ 1 <\f{a_{n+1}}{a_n}. $$ したがって, $n\geq N$ のとき, $$ 0< a_n < a_{n+1} < a_{n+2} < \cd $$ となる. ゆえに $\ds\lim_{n\to \iy}a_n\neq 0$ なので, $\sum a_n$ は発散する.
例題
収束・発散
例題
$\sum \f{n^\a}{2^n}$ の収束・発散を調べよ.
- ▼ 解答
-
[解答]
$a_n=\f{n^\a}{2^n}$ とおく. $$ \f{a_{n+1}}{a_n} =\f{2^n}{n^\a}\c \f{(n+1)^\a}{2^{n+1}} =\f{1}{2}\le( 1+\f{1}{n} \ri)^\a \to \f{1}{2} \ \ \ (n\to \iy). $$ よって, ダランベールの判定法より $\sum a_n$ は収束する.
例題
$\sum \f{2^n}{n!}$ の収束・発散を調べよ.
- ▼ 解答
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[解答]
$a_n=\f{2^n}{n!}$ とおく. $$ \f{a_{n+1}}{a_n} =\f{n!}{2^n}\c \f{2^{n+1}}{(n+1)!} =\f{2}{n+1} \to 0 \ \ \ (n\to \iy). $$ よって, ダランベールの判定法より $\sum a_n$ は収束する.
例題
$\sum \f{n!}{n^n}$ の収束・発散を調べよ.
- ▼ 解答
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[解答]
$a_n=\f{n!}{n^n}$ とおく. $$\eq{ \f{a_{n+1}}{a_n} & =\f{n^n}{n!}\c \f{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} =\f{n^n}{(n+1)^n} \\ & =\f{1}{(1+\tf{1}{n})^n} \to \f{1}{e} < 1 \ \ \ (n\to \iy). }$$ よって, ダランベールの判定法より $\sum a_n$ は収束する.
収束半径
ダランベールの判定法からただちに次の収束半径に関する事実が示される.
(※収束半径については収束半径の求め方【例題】参照.)
系
べき級数 $\sum a_nx^n$ について,
係数 $a_n$ が $0$ にならず, 比の極限
$$ r:=\lim_{n\to \iy}\le|\f{a_{n+1}}{a_n}\ri| $$
$(0\leq r\leq \iy)$ が存在するとき, このべき級数の
収束半径は $1/r$ である.
- ▼ 証明
-
[証明]
$$ \lim_{n\to\iy}\le|\f{a_{n+1}z^{n+1}}{a_nz^n}\ri| =r|z| $$ であるから, ダランベールの判定法より, $\sum a_nz^n$ は $r|z|<1$ のとき絶対収束して, $r|z|>1$ のときは発散する. ゆえに, べき級数の収束半径は $1/r$ である.
例題
次のべき級数の収束半径を計算せよ.
$\ds(1)\sum_{n=1}^\iy n^2x^n\ \ \ \ \ \
(2)\sum_{n=1}^\iy \f{\log n}{n}x^n\ \ \ \ \ \
(3)\sum_{n=1}^\iy \f{(n!)^2}{(2n)!}x^n$
- ▼ 解答
-
[解答]
(1) $a_n=n^2$ とおく. $$ \le| \f{a_{n+1}}{a_n} \ri| =\f{(n+1)^2}{n^2} =\le( 1+\f{1}{n} \ri)^2\to 1\ \ (n\to \iy). $$ 従って, ダランベールの判定法の系より, $\sum n^2x^n$ の収束半径は $1$ である.
(2) $a_n=(\log n)/n$ とおく. $$ \le| \f{a_{n+1}}{a_n} \ri| =\f{n}{n+1}\c \f{\log(n+1)}{\log n} \to 1\ \ (n\to \iy). $$ (※ロピタルの定理より, $\log (x+1)/\log x \to 1\ (n\to \iy)$ となることに注意.)
従って, ダランベールの判定法の系より, べき級数の収束半径は $1$ である.
(3) $a_n=(n!)^2/(2n)!$ とおく. $$ \le| \f{a_{n+1}}{a_n} \ri| =\f{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \to \f{1}{4}\ \ (n\to \iy). $$ 従って, ダランベールの判定法の系より, べき級数の収束半径は $4$ である.
比の極限が１のときは？
ダランベールの判定法では, $\ds\lim_{n\to\iy}=1$ の場合は扱われていない. この場合, 収束するときも発散するときもある. 例えば, $a_n=1/n^p$ のとき, $\ds\lim_{n\to\iy}=1$ であり, $\sum a_n$ は $p>1$ のとき収束し, $p\leq 1$ のとき発散する.
$\ds\lim_{n\to\iy}=1$ の場合はラーベの判定法が有用である.