Takatani Note

行列の三角化定理【証明】

この記事では, 任意の正方行列が三角化できることを証明します。

まず定義を確認しておきます。

定義
正方行列 $A=(a_{ij})$ が \[ \m{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \cr & \ddots & \vdots \cr O & & a_{nn} } \] を満たすとき, すなわち $a_{ij}=0\ \ (i>j)$ のとき, $A$ を上三角行列(upper triangular matrix)という. 他方, \[ \m{ a_{11} & & O \cr \vdots & \ddots & \cr a_{n1} & \cdots & a_{nn} } \] を満たすとき, すなわち $a_{ij}=0\ \ (i< j)$ のとき, $A$ を下三角行列(lower triangular matrix)という.

正方行列 $A$ が適当な正則行列 $P$ によって, $P^{-1}AP$ が上三角行列(または下三角行列)になるとき, $P^{-1}AP$ を $A$ の三角化という.

この記事では, 上三角行列のことを単に三角行列と呼ぶ.

行列の三角化

実行列

三角化定理
$n$ 次の実正方行列 $A$ が, 重複も含めて $n$ 個の固有値 $\l_1,\cd,\l_n$ をもつとき, $A$ は適当な正則行列 $P$ によって次の形に三角化される. \[ P^{-1}AP= \m{ \l_1 & & & * \cr & \l_2 & & \cr & & \ddots & \cr O & & & \l_n } \] また, $P$ として直交行列をとることができる.

[証明]
$A$ の次数 $n$ に関する帰納法で示す.
$n=1$ のとき, 定理は明らかに成り立つ.
$n\geq 2$ として, $n-1$ 次以下の正方行列について定理が成り立つと仮定する.

$\l_1$ を $A$ の固有値の1つとし, $\x_1$ を固有値 $\l_1$ の固有ベクトルとする.
$\R^n$ の $n-1$ 個のベクトル $\x_2,\cdots,\x_n$ を選んで, $\x_1,\x_2,\cd,\x_n$ が $\R^n$ の基底になるようにする.
そのとき, $\x_1,\cdots,\x_n$ を列ベクトルにもつ行列 \[ P_1=(\x_1,\x_2,\cdots,\x_n) \] は正則行列で, \[\eq{ AP_1 & =(A\x_1,A\x_2,\cdots,A\x_n) \\ & =(\l_1\x_1,A\x_2,\cdots,A\x_n) \\ & =P_1 \left( \begin{array}{c|ccc} \l_1 & & * & \cr \hline 0 & & & \cr \vdots & & A_1 & \cr 0 & & & \end{array} \right) }\] の形に書くことができる. ここで $A_1$ は $n-1$ 次正方行列である. したがって, \[ P_1^{\ -1}AP_1= \left( \begin{array}{c|ccc} \l_1 & & * & \cr \hline 0 & & & \cr \vdots & & A_1 & \cr 0 & & & \end{array} \right) \] となる. $A$ と $P_1^{\ -1}AP_1$ の固有値の全体は一致するから, $A_1$ の固有値の全体は $\l_2,\cd,\l_n$ である. $n-1$ 次正方行列 $A_1$ は, 帰納法の仮定により, 適当な $n-1$ 次正則行列 $P_2$ によって三角化され \[ P_2^{\ -1}AP_2= \m{ \l_2 & & * \cr & \ddots & \cr O & & \l_n } \] となる. そこで \[ P=P_1 \left( \begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \cd & 0 \cr \hline 0 & & & \cr \vdots & & P_2 & \cr 0 & & & \end{array} \right) \] とおくと, $P$ は正則行列で, \[\eq{ P^{-1}AP & = \left( \begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \cd & 0 \cr \hline 0 & & & \cr \vdots & & P_2 & \cr 0 & & & \end{array} \right)^{-1} P_1^{\ -1}AP_1 \left( \begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \cd & 0 \cr \hline 0 & & & \cr \vdots & & P_2 & \cr 0 & & & \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \cd & 0 \cr \hline 0 & & & \cr \vdots & & P_2^{\ -1} & \cr 0 & & & \end{array} \right) \left( \begin{array}{c|ccc} \l_1 & & * & \cr \hline 0 & & & \cr \vdots & & A_1 & \cr 0 & & & \end{array} \right) \left( \begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \cd & 0 \cr \hline 0 & & & \cr \vdots & & P_2 & \cr 0 & & & \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{c|ccc} \l_1 & & * & \cr \hline 0 & & & \cr \vdots & & P_2^{\ -1}A_1P_2 & \cr 0 & & & \end{array} \right) = \m{ \l_1 & & & * \cr & \l_2 & & \cr & & \ddots & \cr O & & & \l_n } }\] よって, $A$ は適当な正則行列 $P$ によって三角化される.

以上において, $\x_1,\cdots,\x_n$ を $\R^n$ の標準的な内積に関して正規直交基底となるように選ぶことによって $P_1$ は直交行列にとれる. $P_2$ も帰納法の仮定によって直交行列にとれるから, 結局 $P$ として直交行列がとれる.

複素行列

三角化定理
$n$ 次複素正方行列に対して適当な正則行列 $P$ をとれば次の形に三角化される. \[ P^{-1}AP= \m{ \l_1 & & & * \cr & \l_2 & & \cr & & \ddots & \cr O & & & \l_n } \] また, $P$ としてユニタリ行列をとることができる.

[証明]
$n$ 次の複素正方行列は重複を含めて $n$ 個の固有値を「常に」もつから前定理の証明がほぼそのまま使える.
前定理の証明で, 「$\R$」 を 「$\C$」 に, 「直交」を「ユニタリ」に置き換えるだけでよい.
それ以外は完全に同じである.

三角化定理の応用

三角化定理は多くの応用がある.
例えば, 次の定理の証明で使われる.