Takatani Note

ケーリー・ハミルトンの定理【証明】

この記事では, 次のケーリー・ハミルトンの定理について, その証明を解説します。

定理
$A$ を $n$ 次正方行列とし, $\varphi(x)$ を $A$ の固有多項式とする.
このとき, $\varphi(A)=0.$

証明のやり方はいくつかありますが、ここでは三角化による証明をします。

三角化による証明がおそらく最も理解しやすい証明だと思います。

とはいっても、いきなり一般の $n$ 次正方行列から始めると添え字が多くて分かりにくいです。
なので、3次行列の場合から始め、まずは証明のアイデアを理解してもらいます。

3次行列のケーリー・ハミルトンの定理

証明のアイデアをわかりやすく伝えるため,まずは3次元の場合を証明する.

下記の証明方法は3次元以外の次元でも使え, 一般の $n$ 次元は帰納法で証明する.

定理
$V$ を3次元ベクトル空間とし, $F$ を $V$ 上の任意の線形変換とする.
$\varphi(x)$ を $F$ の固有多項式とする.
このとき, $\varphi(F)=0.$

[証明]
以下, 複素数体 $\C$ で考える.
$\ \ \ \varphi(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$
とすれば,
$\ \ \ \varphi(F)=(F-\alpha I)(F-\beta I)(F-\gamma I)$
である.
$V$ の適当な基底 $\{v_1,v_2,v_3\}$ をとれば, その基底に関して $F$ の表現行列は
$\ \ \ \m{ \alpha & s & t \\ 0 & \beta & q \\ 0 & 0 & \gamma \\ }$
という形の上三角行列になる.

より詳しく言えば,
$\ \ \ F\ (v_1\ \ v_2\ \ v_3)$
$=(v_1\ \ v_2\ \ v_3) \m{ \alpha & s & t \\ 0 & \beta & q \\ 0 & 0 & \gamma \\ }$
である.

$\varphi(F)=0$ を示すには, $v_i\ (i=1,2,3)$ に対して,
$\ \ \ \varphi(F)(v_i)=0$
であることを示せばよい.
そうであれば,すべての $v\in V$ に対して $\varphi(F)(v)=0$ が成り立つからである.

まず $F(v_1)=\alpha v_1$ であるから,
$\ \ \ (F-\alpha I)(v_1)=0.$
したがって,
$\ \ \ \varphi(F)(v_1)$
$=(F-\beta I)(F-\gamma I)(F-\alpha I)(v_1)$
$=0.$
※線形変換 $(F-\alpha I)$ と $(F-\beta I)$ と $(F-\gamma I)$ は 積(合成)について互いに可換である.

次に $F(v_2)=sv_1+\beta v_2$ であるから,
$\ \ \ (F-\alpha I)(F-\beta I)(v_2)$
$=(F-\alpha I)(sv_1)$
$=0.$
$\therefore \ \varphi(F)(v_2)=0.$

最後に $F(v_3)=tv_1+qv_2+\gamma v_3$ であるから,
$\ \ \ (F-\alpha I)(F-\beta I)(F-\gamma I)(v_3)$
$=(F-\alpha I)(F-\beta I)(tv_1+rv_2)$
$=(F-\beta I)(F-\alpha I)(tv_1)$ $+ (F-\alpha I)(F-\beta I)(qv_2)$
$=0.$
$\therefore \ \varphi(F)(v_3)=0.$

以上から, $\varphi(F)=0.$

上の定理を行列の言葉で言い換えると次のようになる.


$A$ を3次正方行列とし, $\varphi(x)$ を $A$ の固有多項式とする.
このとき, $\varphi(A)=0.$

一般の場合の証明

定理
$V$ を $n$ 次元ベクトル空間とし, $F$ を $V$ 上の任意の線形変換とする.
$\varphi(x)$ を $F$ の固有多項式とする.
このとき, $\varphi(F)=0.$

[証明]
以下, 複素数体 $\C$ で考える.
$\ \ \ \varphi(x)=(x-\alpha_1)\cdots (x-\alpha_n)$
とすれば,
$\ \ \ \varphi(F)=(F-\alpha_1I)\cdots (F-\alpha_nI)$
である. $V$ の適当な基底 $\{v_1,\cdots,v_n\}$ をとれば, その基底に関して $F$ の表現行列は
$\ \ \ \m{ \alpha_1 & * & * \\ & \ddots & * \\ & & \alpha_n \\ }\ \ \ \cdots(\star)$
という形の上三角行列になる.

より詳しく言えば,
$\ \ \ F(v_1\ \ \cdots\ \ v_n)$
$=(v_1\ \ \cdots \ \ v_n) \m{ \alpha_1 & * & * \\ & \ddots & * \\ & & \alpha_n \\ }$
である.

$\varphi(F)=0$ を示すには, $v_i\ (i=1,\cdots,n)$ に対して,
$\ \ \ \varphi(F)(v_i)=0$
であることを示せばよい.
そうであれば, すべての $v\in V$ に対して $\varphi(F)(v)=0$ となるからである.

まず $F(v_1)=\alpha_1 v_1$ であるから,
$\ \ \ (F-\alpha_1 I)(v_1)=0.$
したがって,
$\ \ \ \varphi(F)(v_1)$
$=(F-\alpha_2 I)\cdots(F-\alpha_n I)(F-\alpha_1 I)(v_1)$
$=0.$
$F-\alpha_i$ と $F-\alpha_j$ は積(合成)について可換である(重要)ことに注意.

次に $r$ を $2\leq r\leq n$ を満たす任意の整数とする.
$\ \ \ (F-\alpha_1 I)\cdots (F-\alpha_{r-1}I)(v_{r-1})=0$
が成り立つと仮定したとき,
$\ \ \ (F-\alpha_1 I)\cdots (F-\alpha_rI)(v_r)=0$
となることを証明しよう.

上で定めた $F$ の表現行列 $(\star)$ の成分表示を $(a_{i,j})$ としよう.
このとき, 行列 $(\star)$ の第 $r$ 列は
$\ \ \ {}^t(a_{1,r},\cdots,a_{r-1,r},\alpha_r,0,\cdots, 0)$
という形であるから,
$\ \ \ F(v_r) =a_{1,r}v_1+\cdots+a_{r-1,r}v_{r-1}+\alpha_rv_r.$

したがって,
$\ \ \ (F-\alpha_rI)(v_r)=a_{1,r}v_1+\cdots+a_{r-1,r}v_{r-1}$
すなわち $(F-\alpha_rI)(v_r)$ は $v_1,\cdots,v_{r-1}$ の線型結合である.
ゆえに, 仮定より
$\ \ \ (F-\alpha_1 I)\cdots (F-\alpha_rI)(v_r)=0.$

よって, $1\leq r \leq n$ である任意の整数 $r$ に対して,
$\ \ \ (F-\alpha_1 I)\cdots (F-\alpha_nI)(v_r)=0.$
すなわち $\varphi(F)(v_r)=0$ が成り立つ.
これが示したいことだった.

上の定理を行列の言葉で言い換えると次のようになる.


$A$ を $n$ 次正方行列とし, $\varphi(x)$ を $A$ の固有多項式とする.
このとき, $\varphi(A)=0.$