Takatani Note

エルミート行列の性質【証明】

この記事では、エルミート行列について次の性質を証明します。

証明の前に定義を確認しておきます。

定義
$n$ 次複素正方行列 $A$ が $A^*=A$ を満たすとき, $A$ をエルミート行列(Hermitian matrix)という.

※対称行列はエルミート行列である.


$\m{ 2 & i \cr -i & 1 }$ はエルミート行列である.

$\m{ 1 & 0 \cr 0 & i }$ はエルミート行列でない.

エルミート行列の性質

エルミート行列の固有値はすべて実数

定理
エルミート行列の固有値はすべて実数である.

証明
[証明]
$A$ を $n$ 次エルミート行列とし, $\l$ を $A$ の固有値とする. $\l$ の固有ベクトルを $\x\in \C^n$ とする. すなわち, \[ A\x=\l\x\ \ \ (\x\neq 0) \] そのとき, $\C^n$ の標準的なエルミート内積 $(\ ,\ )$ に関して, \[ (A\x,\x)=(\l\x,\x)=\l(\x,\x) \] 他方, 仮定より $A^*=A$ であるから, \[ (A\x,\x)\xeq{*1}(\x,A^*\x) =(\x,A\x)=(\x,\l\x)=\ol{\l}(\x,\x) \] ($(*1)$ についてはエルミート内積の性質を用いた.)
上式から, 等式 \[ \l(\x,\x)=\ol{\l}(\x,\x) \] が成り立つ. 他方, エルミート内積の性質から, $\x\neq 0$ に対して $(\x,\x)>0$ である. したがって \[ \l=\ol{\l} \] すなわち, $\l$ は実数である.

固有ベクトルの直交性

定理
エルミート行列の相異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交する.

証明
[証明]
エルミート行列 $A$ の相異なる固有値を $\l,\mu$ とし, それぞれの固有ベクトルを $\x,\y$ とする. すなわち, \[\eq{ A\x & =\l\x & \ \ (\x\neq 0) \\ A\y & =\mu\y & \ \ (\y\neq 0) }\] そのとき, \[ (A\x,\y)=(\l\x,\y)=\l(\x,\y) \] 他方, 仮定より $A^*=A$ であるから, \[\eq{ (A\x,\y) & =(\x,A^*\y)=(\x,A\y) \\ & =(\x,\mu\y)=\ol{\mu}(\x,\y) }\] 前定理より, $\ol{\mu}=\mu$ であるから, \[ \l(\x,\y)=\mu(\x,\y) \] となる. したがって \[ (\l-\mu)(\x,\y)=0 \] ところが仮定より $\l \neq \mu$ なので \[ (\x,\y)=0 \] これは固有ベクトル $\x,\y$ が直交することを意味する.

エルミート行列はユニタリ行列で対角化される

定理
$n$ 次複素正方行列 $A$ について, 次の2つの条件は同値である.
(1) $A$ はエルミート行列である.
(2) $A$ は適当なユニタリ行列 $U$ によって, 対角成分が実数からなる行列に対角化できる: \[ U^{-1}AU= \m{ \l_1 & & O \cr & \ddots & \cr O & & \l_n } \ \ \ (\l_1,\cd,\l_n\in \R) \]

[証明]
(1) $\Rightarrow$ (2)
$A$ は複素正方行列なので 重複をこめて $n$ 個の固有値 $\l_1,\cd,\l_n$ を常にもつ. $A$ はエルミート行列なので, $\l_1,\cd,\l_n$ は常に実数である. したがって, $A$ は三角化できる. すなわち, あるユニタリ行列 $U$ が存在して \[ U^{-1}AU= \m{ \l_1 & & * \cr & \ddots & \cr O & & \l_n } \] とできる(行列の三角化).
仮定より, $U^*=U^{-1}$ であり, $A^*=A$ であるから, \[\eq{ (U^{-1}AU)^* & =(U^* AU)^*=U^*A^*(U^*)^* \\ & =U^* A^* U=U^{-1}AU }\] すなわち, 三角行列 $U^{-1}AU$ もエルミート行列である. つまり \[ \m{ \l_1 & & * \cr & \ddots & \cr O & & \l_n }^{\hspace{-105pt} t} = \m{ \l_1 & & * \cr & \ddots & \cr O & & \l_n } \] であるから, $*$ の部分はすべて $0$ である. したがって \[ U^{-1}AU= \m{ \l_1 & & O \cr & \ddots & \cr O & & \l_n } \] と, すでに対角化されている.

(1) $\Leftarrow$ (2)
$A$ はユニタリ行列 $U$ によって \[ U^{-1}AU= \m{ \l_1 & & O \cr & \ddots & \cr O & & \l_n } \] と対角化できるとする.
対角行列であるから, $(U^{-1}AU)^*=U^{-1}AU$ を満たす.
他方 $U^{-1}=U^*$ であるから, \[\eq{ (U^{-1}AU)^* & =(U^* AU)^*=U^* A^*(U^*)^* \\ & =U^*A^* U=U^{-1}A^* U }\] 以上より, 等式 \[ U^{-1}AU = U^{-1}A^* U \] を得る.
この等式に左から $U,$ 右から $U^{-1}$ をかけることによって, $A=A^*$ が得られる.
すなわち, $A$ はエルミート行列である.

この定理の一般化として次が成り立つ (正規行列の性質):

$A$ は正規行列 $\iff$ $A$ は適当なユニタリ行列 $U$ によって対角化できる