Takatani Note

正規行列の性質【証明】

この記事では、正規行列の性質を証明します。

証明の前に定義を確認しておきます。

定義
$n$ 次複素正方行列 $A$ が \[ A^*A=AA^* \] を満たすとき, $A$ を正規行列(normal matrix)という.


・直交行列, ユニタリ行列
・実対称行列, エルミート行列
・交代行列, 歪エルミート行列
これらは正規行列である.

上記以外にも, 次も正規行列である.


$\m{ 2 & 0 \cr 0 & i } ,\ \ \ \m{ 1 & 1 & 0 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 1 }$
は正規行列である.

正規行列の性質

正規行列はユニタリ行列で対角化される

定理
$n$ 次複素正方行列 $A$ について, 次の2つは同値である.
(1) $A$ は正規行列である. (2) $A$ はあるユニタリ行列によって対角化される.

証明
[証明]
(1) $\Leftarrow$ (2)
$A$ がユニタリ行列 $U$ によって対角化されたとする. \[ T=U^{-1}AU \] をその対角化とする. $U^{-1}=U^*$ であるから, $T=U^*AU$ である. そして \[ T=U^*A^*U^{**}=U^*A^*U \] も対角行列であるから, 等式 $TT^*=T^*T$ が成り立つ. ここに上式を代入して, \[ (U^*AU)(U^*A^*U)=(U^*A^*U)(U^*AU) \] ここで, $UU^*=E$ であるから, \[ U^*AA^*U=U^*A^*AU \] この等式に左から $U,$ 右から $U^*$ をかけることによって等式 \[ AA^*=A^*A \] を得る. すなわち, $A$ は正規行列である. (1) $\Rightarrow$ (2)
一般に複素正方行列 $A$ は適当なユニタリ行列 $U$ によって \[ B=U^{-1}AU=U^*AU= \m{ b_{11} & b_{12} & \cd & b_{1n} \cr & b_{22} & \cd & b_{2n} \cr & & \ddots & \vdots \cr O & & & b_{nn} } \] と三角化される(行列の三角化).
そのとき, \[ B^*=U^*A^*U= \m{ \ol{b}_{11} & & & O \cr \ol{b}_{12} & \ol{b}_{22} & & \cr \vdots & \vdots & \ddots & \cr \ol{b}_{1n} & \ol{b}_{2n} & \cd & b_{nn} } \] で, $A$ が正規行列であるから, \[\eq{ B^*B & =(U^*A^*U)(U^*AU)=U^*A^*AU=U^*AA^*U \\ & =(U^*AU)(U^*A^*U)=BB^* }\] つまり, $B$ も正規行列である. この等式 $B^*B=BB^*$ の両辺の $(1,1)$ 成分を比較することによって, 等式 \[\eq{ & \ol{b}_{11}b_{11} & =b_{11}\ol{b}_{11} +b_{12}\ol{b}_{12}+\cd+b_{1n}\ol{b}_{1n} \\ \iff & \hspace{20pt} 0 & = b_{12}\ol{b}_{12}+\cd+b_{1n}\ol{b}_{1n} }\] を得る. $b_{1i}\ol{b}_{1i}=|b_{1i}|^2\geq 0$ であるから, \[ b_{12}=b_{13}=\cd=b_{1n}=0 \] を得る. 以下順番に $(i,i)$ 成分を比べることによって \[ b_{i (i+1)}=b_{i(i+2)}=\cd=b_{in}=0 \] を得る. すなわち, $B$ は対角行列である.

$\l$ が $A$ の固有値 $\Rightarrow$ $\ol{\l}$ は $A^*$ の固有値

定理
$A$ を正規行列, $\l$ を $A$ の固有値, $\x$ を $\l$ の固有ベクトルとする.
このとき, $\ol{\l}$ は $A^*$ の固有値であり, $\x$ は $A^*$ の固有値 $\ol{\l}$ の固有ベクトルである.

証明
[証明]
$B=(A-\l I)$ とする.
$AA^*=A^*A$ より, $BB^*=B^*B$ であることに注意しよう.
$A\x =\l\x$ より, $B\x=(A-\l I)\x=0$ であるから, \[\eq{ 0=(B\x,B\x)=(\x,B^*B\x)=(\x,BB^*\x) =(B^*\x,B^*\x) }\] したがって, $B^*\x=0.$ ゆえに, \[\eq{ B^*\x=0 & \iff (A-\l I)^*\x=0 \\ & \iff (A^*-\ol{\l} I)\x=0 \\ & \iff A^*\x=\ol{\l}\x. }\]