対称行列の性質【証明】

この記事では、対称行列について次の性質を証明します。

• 実対称行列の固有値はすべて実数
• 固有ベクトルの直交性
• 実対称行列は直交行列で対角化される

対称行列と交代行列の関係については交代行列の性質を参照してください。

約束 ${}^tA$ を $A$ の転置行列とする.

証明の前に定義を確認しておきます。

定義
$A\in M_n(\C)$ とする. ${}^tA=A$ が成り立つとき, $A$ を対称行列(symmetric matrix)という. $A$ が対称な実行列のとき, $A$ を実対称行列という.

※実対称行列はエルミート行列である. しかし, 対称行列についてはエルミート行列でない場合もある.

例
$\ds \m{ 1 & 0 \cr 0 & 2 },\ \ \ \m{ a & b \cr b & d }$ は対称行列である.

例
$\m{ i & 0 \cr 0 & i }$ は対称行列だがエルミート行列でない. ($i$ は虚数単位.)

性質

はじめに復習として, 行列 $A\in M_n(\R)$ に対して $$ (A\x,\y)=(\x,\tA \y) \ \ \ \ \ (\all \x,\y \in \R^n) $$ が成り立つことを思い出そう. (実際, $(A\x,\y)={}^t(A\x)\y$ $={}^t \x\tA\y$ $=(\x,\tA \y).$) この事実は以下の定理の証明によく用いられる.

随伴性

定理
$A\in M_n(\R)$ とする. このとき,
$A$ が実対称行列 $\iff$ $(A\x,\y)=(\x,A\y)\ $ $(\all \x,\y\in \R^n).$

▼ 証明

[証明]  ($\Go$) $A=\tA $ により $$(A\x,\y)=(\x,\tA \y)=(\x,A\y). $$ ($\Come$) 各 $\x,\y\in \R^n$ に対して $$\eq{ (A\x,\y)=(\x,A\y) & \iff (\x,\tA \y)=(\x,A\y) \\ & \iff (\x,(\tA -A)\y)=0. }$$ 従って, とくに $\x=(\tA -A)\y$ のとき, $$ ((\tA -A)\y,(\tA -A)\y)=0. $$ ゆえに $(\tA -A)\y=0$ である. $\y$ は任意だから $\tA =A.$

実対称行列の固有値はすべて実数

定理Ｘ
実対称行列の固有値はすべて実数である.

[証明]  一般に次が成り立つ.
『エルミート行列の固有値はすべて実数である.』
(証明：エルミート行列【性質と証明】参照.)

固有ベクトルの直交性

定理
実対称行列の相異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交する.

▼ 証明

[証明]  $A\x=\l \x,\ A\y=\mu \y,\ $ $\l\neq \mu$ とする. $$\eq{ \l(\x,\y) & =(\l \x,\y)=(A\x,\y)=(\x,\tA \y) \\ & =(\x,A\y)=(\x,\mu \y)=\mu(\x,\y). }$$ $$ \th (\l-\mu)(\x,\y)=0. $$ $$ \th (\x,\y)=0. $$

実対称行列は直交行列で対角化される

定理
$A\in M_n(\R)$ とする. このとき,
$A$ が実対称行列 $\iff$ $A$ はある直交行列によって対角化される.

[証明]  一般に次が成り立つ.
『$A$ がエルミート行列 $\iff$ $A$ はあるユニタリ行列 $U$ によって対角成分が実数からなる行列に対角化される.』
(証明：エルミート行列【性質と証明】参照.)

さらに, より一般に次が成り立つ.
『$A$ が正規行列 $\iff$ $A$ はあるユニタリ行列 $U$ によって対角化される. 』
(証明：正規行列【性質と証明】参照.)