Takatani Note

行列の最小多項式【例題&性質の証明】

この記事では、行列の最小多項式について次の内容を扱います。

はじめに最小多項式の定義を確認しておきます。

定義
正方行列 $A$ に対して, $g(A)=O$ (零行列)となるような0でない多項式 $g(x)\in \C[x]$ のうち, 次数が最小であり, かつ最高次の係数が1である多項式を $A$ の最小多項式という.

以下, $A$ の最小多項式を $\varphi_A(x)$ で表します。

最小多項式の性質

相似な行列は固有多項式と最小多項式が同じ

定理X
2つの正方行列 $A,B$ が相似であるとき, すなわち, ある正則行列 $P$ が存在して $P^{-1}AP=B$ であるとき, 次が成り立つ.
(1) $A,B$ の固有多項式は等しい.
(2) $A,B$ の最小多項式は等しい.

証明
[証明]
(1)行列式の性質より, \[\eq{ |A-\l I| & =|P||A-\l I||P|^{-1} \\ & =|P(A-\l I)P^{-1}| \\ & =|PAP^{-1}-\l I| \\ & =|B-\l I| }\] よって, (1)が成り立つ.

(2) $f(x)$ を多項式とする.
$B^n=(P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP$ より, \[ f(B)=f(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P \] であるので, \[ f(B)=0 \iff f(A)=0. \] よって, 定理の主張が成り立つ.

固有多項式は最小多項式で割り切れる

定理Y
多項式 $g(x)\in \C[x]$ に対して, 次は同値である.
(1) $g(A)=0$
(2) $g(x)$ は最小多項式 $\varphi_A(x)$ で割り切れる.

証明
[証明]
$(1)\Rightarrow (2)$
$g(x)$ を $\varphi_A(x)$ で割った商を $Q(x),$ 余りを $r(x)$ とする: \[ g(x)=Q(x)\varphi_A(x)+r(x), \ \ \ \big(\deg \varphi_A(x) > \deg r(x)\big). \] 上式の $x$ に $A$ を代入すれば, $g(A)=0$ かつ $\varphi_A(A)=0$ より, \[ r(A)=0.\] したがって, 最小多項式 $\varphi_A(x)$ の次数の最小性により $r(x)=0$ である. ゆえに \[ g(x)=Q(x)\varphi_A(x). \] よって, $g(x)$ は $\varphi_A(x)$ で割り切れる.

$(1)\Leftarrow (2)$
逆は明らかである.

定理Yから次の系がただちに導かれる.


正方行列 $A$ の固有多項式 $f_A(x)$ は最小多項式 $\varphi_A(x)$ で割り切れる.

証明
[証明]
ケーリー・ハミルトンの定理から $f_A(A)=0.$
よって, 定理Yから $f_A(x)$ は $\varphi_A(x)$ で割り切れる.

最小多項式の根 $\iff$ 固有多項式の根

まず, 次の補題を示す.

補題
$A$ を $n$ 次複素正方行列とし, $\l_1,\l_2,\cdots,\l_n$ を $A$ の固有値とする.
このとき, 多項式 $\rho (x)\in \C[x]$ に対して, 行列 $\rho (A)$ の固有値は $\rho(\l_1),\rho(\l_2),\cdots,\rho(\l_n)$ である.

すなわち, $A$ の固有多項式 $f_A(x)$ が \[ f_A(x)=(x-\l_1)(x-\l_2)\cdots(x-\l_n) \] ならば \[ f_{\rho(A)}(x)=(x-\rho(\l_1))(x-\rho(\l_2))\cdots(x-\rho(\l_n)) \] である.

証明
[証明]
$A$ は複素正方行列なので, 行列の三角化定理によって, ある正則行列 $P$ によって, \[ B:=P^{-1}AP= \m{ \l_1 & & * \cr & \ddots & \cr O & & \l_n } \] のように上三角行列にできる.
\[ B^2= \m{ \l_1^{\ 2} & & * \cr & \ddots & \cr O & & \l_n^{\ 2} }, \ \cdots, \ B^r= \m{ \l_1^{\ r} & & * \cr & \ddots & \cr O & & \l_n^{\ r} }, \cdots \] である. したがって, 多項式 $\rho(x)$ に対して, \[ \rho(B)= \m{ \rho(\l_1) & & * \cr & \ddots & \cr O & & \rho(\l_n) } \] となる.
\[ \rho(B)=\rho(P^{-1}AP)=P^{-1}\rho(A)P \] より, $\rho(B)$ と $\rho(A)$ は相似である.
よって, 定理Xから $\rho(B),\ \rho(A)$ の固有値は一致する.

定理Z
$A$ を複素正方行列, $\l$ を $A$ の固有値とする.
このとき, $\varphi_A(\l)=0.$
すなわち, 固有多項式の根は最小多項式の根である.

証明
[証明]
補題によって $\varphi_A(\l)$ は行列 $\varphi_A(A)$ の固有値である.
そして $\varphi_A(A)=\bm{O}$ であるから $\varphi_A(\l)=0$ となる.
(※零行列の固有値はもちろん0のみ.)

この定理から次を得る.

定理W
行列 $A$ の固有多項式 $f_A(x)$ を $\C$ において因数分解したとき,
\[ f_A(x)=(x-\l_1)^{n_1}(x-\l_2)^{n_2}\cdots(x-\l_s)^{n_s} \] とする. そのとき $\varphi_A(x)$ は
\[ \varphi_A(x)=(x-\l_1)^{\nu_1}(x-\l_2)^{\nu_2}\cdots(x-\l_s)^{\nu_s} \] (ただし, $1\leq \nu_1 \leq n_1,\ \cdots ,\ 1\leq \nu_s \leq n_s)$
の形となる.

証明
[証明]
系より, 固有多項式は最小多項式で割り切れるので, \[ \varphi_A(x)=(x-\l_1)^{\nu_1}(x-\l_2)^{\nu_2}\cdots(x-\l_s)^{\nu_s}\ \ \ (0\leq \nu_i \leq n_i)\] の形となる. さらに, 定理Zから, $1\leq \nu_i$ でなければならない.

この定理より次がわかる. \[ \te{最小多項式の根} \iff \te{固有多項式の根} \]

対角化可能であるための必要十分条件

定理T
$f_A(x)$ の $\C[x]$ における因数分解を
\[ f_A(x)=(x-\l_1)^{n_1}(x-\l_2)^{n_2}\cdots(x-\l_s)^{n_s} \] とする.
$A$ が対角化可能であるためには, $A$ の最小多項式 $\varphi_A(x)$ が
\[ \varphi_A(x)=(x-\l_1)(x-\l_2)\cdots(x-\l_s) \] となること, すなわち $\varphi_A(x)$ が重解をもたないことが必要かつ十分である.

[証明]
[松坂 定理8.26]を参照せよ.

最小多項式の求め方【例題】

2次行列や3次行列のような次数が小さい行列の場合, 最小多項式 $\varphi_A(x)$ を求めるのは簡単であり, 次の手順を踏めばよい.

最小多項式を求める手順
(1) 固有多項式 $f_A(x)$ を求めて1次式に因数分解する.
(2) 定理Wを用いて, 最小多項式の候補たちについて1つ1つ $A$ を代入する.
(3) 代入して零行列 $\bm{O}$ になったら, それが最小多項式である.

では, 実際にこの手順で例題を解いてみよう.

例題
次の行列の最小多項式を求めよ.
$\ \ \ A= \m{ 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & -2 }$

証明
[解答]
$A$ の固有多項式は \[ (x-1)^2(x+2) \] なので, 定理Wより最小多項式 $\varphi_A(x)$ は \[ (x-1)(x+2) \ \text{または} \ (x-1)^2(x+2) \] である. \[ (A-1)(A+2)=O \] なので, \[ \varphi_A(x)=(x-1)(x+2). \]