Takatani Note

行列式の性質【証明】

この記事では、行列式(determinant)の性質を証明します。

定義
$n$ 次正方行列 \[ A= \m{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n1} & \cdots & a_{nn} } =(a_{ij}) \] に対して, $\det(A)$ を \[ \det(A)=\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s) a_{1\s(1)}a_{2\s(2)}\cdots a_{n\s(n)} \] と定める. この $\det(A)$ を $A$ の行列式(determinant)という.
$\det(A)$ を $|A|$ と表すこともある.

※文献によっては \[ \det(A)=\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s) a_{\s(1)1}a_{\s(2)2}\cdots a_{\s(n)n} \] のように、添え字が逆に定義されているので注意.

行列式の性質

行列式のブロック

定理
行列 $A=(a_{ij})$ について, $A$ の第1列が2行目以下ですべて0ならば次が成り立つ. \[ \md{ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \cr \vdots & \vdots & & \vdots \cr 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} } =a_{11} \md{ a_{22} & \cdots & a_{2n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n2} & \cdots & a_{nn} } \] ※第1列の成分が2行目以下では全部0のとき

証明
[証明]
$A=(a_{ij})$ とおく. 仮定より $a_{21}=a_{31}=\cd=a_{n1}=0$ である. 行列式の定義を書こう. \[ \det(A)=\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s) a_{1\s(1)}a_{2\s(2)}\cdots a_{n\s(n)} \] $\s(1) > 1$ である $\s$ については, 置換であることから, $\s(k)=1$ となる $k >1$ がある. 仮定より \[ a_{k\s(k)}=a_{k1}=0 \] であるから, 結局 \[ a_{1\s(1)}a_{2\s(2)}\cd a_{k\s(k)} \cd a_{n\s(n)}=0 \] である. つまり $\s(1)>1$ となる項はすべて0となる. したがって和は $s(1)=1$ となる置換 $\s\in S_n$ のみをわたればよい. すなわち \[ \s= \m{ 1 & 2 & \cd & n \cr 1 & i_2 & \cd & i_n} \] となる置換に関する和である. このような置換全体は, $n-1$ 個の文字 $\{ 2,3,\cd,n\}$ の置換全体 $S_{n-1}$ と同一視される. ゆえに, \[\eq{ |A| & =\sum_{\substack{\s\in S_n \\\ \s(1)=1 }} \sgn(\s)a_{11}a_{2\s(2)}\cdots a_{n\s(n)} \\ & =a_{11} \sum_{\substack{\s\in S_n \\\ \s(1)=1 }} \sgn(\s)a_{2\s(2)}\cdots a_{n\s(n)} \\ & =a_{11}\sum_{\tau\in S_n}\sgn(\tau) a_{2\tau(2)}\cdots a_{n\tau(n)} \\ & =a_{11} \md{ a_{22} & \cdots & a_{2n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n2} & \cdots & a_{nn} } }\]

行列式の定数倍

定理
行列 $A=(a_{ij})$ の1つの行を $c$ 倍すると, 行列式は $c$ 倍になる. \[ \md{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & & \vdots \cr ca_{i1} & \cdots & ca_{in} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n1} & \cdots & a_{nn} } =c \md{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{i1} & \cdots & a_{in} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n1} & \cdots & a_{nn} } \]

証明
[証明]
\[\eq{ \text{(左辺)} & =\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s)a_{1\s(1)} a_{2\s(2)} \cd (ca_{i\s(i)}) \cd a_{n\s(n)} \\ & =c\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s)a_{1\s(1)} a_{2\s(2)} \cd a_{i\s(i)} \cd a_{n\s(n)} \\ & =\text{(右辺)} }\]

2つの行の入れ替え

定理
2つの行を入れ替えると行列式は $-1$ 倍になる. すなわち, \[ \md{ a_{11} & \cdots & \cd & a_{1n} \cr \vdots & & & \vdots \cr a_{j1} & \cdots & \cd & a_{jn} \cr \vdots & & & \vdots \cr a_{i1} & \cdots & \cd & a_{in} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{n1} & \cdots & \cd & a_{nn} } =- \md{ a_{11} & \cdots & \cd & a_{1n} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{i1} & \cdots & \cd & a_{in} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{j1} & \cdots & \cd & a_{jn} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{n1} & \cdots & \cd & a_{nn} } \] ここで, 上式では第 $i$ 行と第 $j$ 行を入れ替えている.

証明
[証明]
置換 $\s\in S_n$ と互換 $(i\ j)$ に対して, $\tau=\s(i\ j)$ と定義する. このとき, $$ \tau(i)=\s(j),\ \ \tau(j)=\s(i),\ \ \tau(k)=\s(k)\ \ \ (k\neq i,j) $$ となる. 対応 $$ \s \ma \s(i\ j)=\tau $$ は, $S_n$ から $S_n$ への全単射である. つまり, $\s$ が置換全体 $S_n$ を動くと, $\tau$ も $S_n$ を動く. また, 符号は $$ \sgn(\tau)=\sgn(\s(i\ j)) =\sgn(\s)\c \sgn(i\ j)=-\sgn(\s) $$ である. 以上の準備のもとに行列式を定義にしたがって計算すると, $$\eq{ \te{左辺} & =\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s)a_{1\s(1)} \cd a_{j\s(i)} \cd a_{i\s(j)}) \cd a_{n\s(n)} \\ & =\sum_{\tau\in S_n}(-\sgn(\tau))a_{1\tau(1)} \cd a_{j\tau(j)} \cd a_{i\tau(i)}) \cd a_{n\tau(n)} \\ & =-\sum_{\tau\in S_n}\sgn(\tau)a_{1\tau(1)} \cd a_{i\tau(i)} \cd a_{j\tau(j)}) \cd a_{n\tau(n)} \\ & =\te{右辺} }$$

定理
2つの行が等しい行列の行列式は0である.

証明
[証明]
行列 $A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行が等しいとする. この第 $i$ 行と第 $j$ 行を交換しても同じ行列である. 一方, 前定理より, 行を入れ替えると行列式は $(-1)$ 倍になる. よって, $$ |A|=-|A| $$ となるから, $2|A|=0.$ すなわち $|A|=0$ である.

定理
行列の1つの行に任意の数をかけたものを, 他の行に加えても行列式の値は変わらない. すなわち, \[ \md{ a_{11} & \cdots & \cd & a_{1n} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{i1} & \cdots & \cd & a_{in} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{j1}+ca_{i1} & \cdots & \cd & a_{jn}+ca_{in} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{n1} & \cdots & \cd & a_{nn} } = \md{ a_{11} & \cdots & \cd & a_{1n} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{i1} & \cdots & \cd & a_{in} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{j1} & \cdots & \cd & a_{jn} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{n1} & \cdots & \cd & a_{nn} } \]

証明
[証明]
左辺は $$ \md{ a_{11} & \cdots & \cd & a_{1n} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{i1} & \cdots & \cd & a_{in} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{j1} & \cdots & \cd & a_{jn} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{n1} & \cdots & \cd & a_{nn} } +c \md{ a_{11} & \cdots & \cd & a_{1n} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{i1} & \cdots & \cd & a_{in} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{i1} & \cdots & \cd & a_{in} \cr \vdots & & &\vdots \cr a_{n1} & \cdots & \cd & a_{nn} } $$ に分解できる. 上式の2番目の行列式は $i$ 行と $j$ 行が等しいから0である. よって, 等式が成り立つ.

行列式の和

定理
\[ \md{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & & \vdots \cr b_{i1}+c_{i1} & \cdots & b_{in}+c_{in} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n1} & \cdots & a_{nn} } = \md{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & & \vdots \cr b_{i1} & \cdots & b_{in} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n1} & \cdots & a_{nn} } + \md{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & & \vdots \cr c_{i1} & \cdots & c_{in} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n1} & \cdots & a_{nn} } \]

証明
[証明]
\[\eq{ \text{(左辺)} & =\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s)a_{1\s(1)} a_{2\s(2)} \cd (b_{i\s(i)}+c_{i\s(i)}) \cd a_{n\s(n)} \\ & =\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s)(a_{1\s(1)} a_{2\s(2)} \cd b_{i\s(i)} \cd a_{n\s(n)} +a_{1\s(1)} a_{2\s(2)} \cd c_{i\s(i)} \cd a_{n\s(n)}) \\ & =\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s)a_{1\s(1)} a_{2\s(2)} \cd b_{i\s(i)} \cd a_{n\s(n)} + \sum_{\s\in S_n}\sgn(\s)a_{1\s(1)} a_{2\s(2)} \cd c_{i\s(i)} \cd a_{n\s(n)} \\ & =\text{(右辺)} }\]

転置行列の行列式

定理
任意の正方行列 $A$ に対して, \[ \det(\tp A)=\det(A) \]

[証明]
転置行列の性質を見てください。

行列式の積

定理X
$n$ 次正方行列 $A,B$ に対して, \[ \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B). \]

証明
[証明]
行列 $A,B$ をそれぞれ $A=(a_{ij}),\ $ $B=(b_{ij})$ と書くことにする. そして, 行列 $B$ の行ベクトルを $\b_1,\b_2,\cd,\b_n$ とする. すなわち, \[ \b_j=(b_{j1},b_{j2},\cd,b_{jn})\ \ (j=1,\cd,n) \] ブロックに分けての計算法によって, \[ AB= \m{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n1} & \cdots & a_{nn} } \m{\b_1 \cr \vdots \cr \b_n} = \m{\sum_{j=1}^n a_{1j}\b_j \cr \vdots \cr \sum_{j=1}^n a_{nj}\b_j} \] である. したがって, 行列の基本性質を繰り返し使うことによって, 次の等式を得る. \[ \det(AB)=\sum_{j_n=1}^n\sum_{j_{n-1}=1}^n \cd \sum_{j_2=1}^n\sum_{j_1=1}^n a_{1j_1}\cd a_{nj_n} \md{ \b_{j_1} \cr \vdots \cr \b_{j_n} } \] ここで, 和は $j_1,j_2,\cd,j_n$ がそれぞれ $1$ から $n$ まで動くので $n^n$ 個の項にわたる. しかし, $\b_{j_1},\cd,\b_{j_n}$ のうちに同じものがあれば, 行列式は \[ \md{ \b_{j_1} \cr \vdots \cr \b_{j_n} } =0 \] となるから, $j_1,j_2,\cd,j_n$ がすべて異なる場合の和を考えればよい. すなわち, これらがちょうど $1,2,\cd,n$ の順列となる場合にほかならない. しかも和はちょうどすべての順列にわたる. ゆえに, \[\eq{ \det(AB) & =\sum_{\s\in S_n}a_{1j_1}\cd a_{nj_n} \md{ \b_{j_1} \cr \vdots \cr \b_{j_n} } \ \ \ \ \s= \m{ 1 & 2 & \cd & n \cr j_1 & j_2 & \cd & j_n } \\ & =\sum_{\s\in S_n}a_{1\s(1)}\cd a_{n\s(n)} \md{ \b_{\s(1)} \cr \vdots \cr \b_{\s(n)} } \\ & =\sum_{\s\in S_n} a_{1\s(1)}\cd a_{n\s(n)}\sgn(\s) \md{ \b_1 \cr \vdots \cr \b_n } \\ & =(\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s) a_{1\s(1)}a_{2\s(2)}\cdots a_{n\s(n)}) \md{ \b_1 \cr \vdots \cr \b_n } \\ & =\det(A)\cdot \det(B) }\]

逆行列の行列式

定理Y
$A$ を正則行列とし, $A^{-1}$ をその逆行列とする. このとき, \[ \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}. \]

証明
[証明]
定理Yより \[ \det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I)=1.\] \[ \therefore \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}. \]

行列式は基底変換によらない

定理Z
$A$ を $n$ 次正方行列とし, $P$ を $n$ 次正則行列とする. このとき, \[ \det(PAP^{-1})=\det(A). \]

証明
[証明]
定理Xと定理Yより \[\eq{ \det(PAP^{-1}) & =\det(P)\det(A)\det(P^{-1}) \\ & =\det(P)\det(A)\det(P)^{-1} \\ & =\det(A). }\]

※正方行列 $A$ のトレース $\tr(A)$ も同様の性質をもつ. つまり \[ \tr(PAP^{-1})=\tr(A) \] が成り立つ. 証明はトレースの性質【証明】にある.

$A$ が正則行列 $\iff$ $\det(A)\neq 0$

定理
正方行列 $A$ が正則であるための必要十分条件は $|A|\neq 0$ である. このとき, $A$ の逆行列 $A^{-1}$ は \[ A^{-1}=\f{1}{|A|}\At \] で与えられる. ここで $\At$ は $A$ の余因子行列である.

証明
[証明]
$A$ が正則であれば, ある行列 $B$ があって $AB=I$ となる. \[ |A|\cdot|B|=|AB|=|I|=1 \] であるから, 特に $|A|\neq 0$ である. 逆に $|A|\neq 0$ のとき, \[ B=\f{1}{|A|}\At \] とおくと, \[\eq{ AB & = A(\f{1}{|A|}\At)=\f{1}{|A|}A\At =\f{1}{|A|}|A|I=I \\ BA & =(\f{1}{|A|}\At)A=\f{1}{|A|}(\At A) =\f{1}{|A|}|A|I=I }\] であるから, $A$ は正則である. 上の計算から, $A$ の逆行列は \[ A=B=\f{1}{|A|}\At \] で与えられる.