連結でないことを示す問題

この記事では、位相空間が連結でないことを示す問題を扱います。
以下, $\R^n$ には通常の位相(ユークリッド位相)が入っているとします。

まずは連結の定義を確認しておきましょう。

定義
$(X,\O)$ を位相空間とする.
$\emp$ と $X$ 以外に, 開集合かつ閉集合であるような ($X$ の)部分集合が存在しないとき, $X$ は連結 (connected)であるという.

連結でないことを示すのに、次の定理をよく使います。

定理Ａ
$X,Y$ を位相空間, $f:X \to Y$ を連続写像とする.
$X$ が連結ならば, $f(X)$ も連結である.

[証明]
$f(X)$ が連結でないとすれば, $Y$ の開集合 $O_1,O_2$ で, \[\eq{ & f(X) \sub O_1\cup O_2, \\ & O_1\cap O_2 \cap f(X)=\emp, \\ & O_1\cap f(X)\neq \emp, \\ & O_2\cap f(X) \neq \emp }\] となるものが存在する. 上の２つの式から明らかに \[\eq{ & X=f^{-1}(O_1)\cup f^{-1}(O_2), \\ & f^{-1}(O_1)\cap f^{-1}(O_2) =\emp }\] が得られ, また下の２つの式から $f^{-1}(O_1)\neq \emp, \ \ f^{-1}(O_2) \neq \emp$ が得られる.
$f$ は連続であるから, $f^{-1}(O_1),\ \ f^{-1}(O_2)$ は $X$ の開集合である.
これは $X$ が連結であることに矛盾する.

※[松坂 5章定理1]または[内田 定理25.1]に証明がある.

連結でないことを示す問題

問題
双曲線 $C:xy=1$ は連結でないことを示せ： \[ C=\{(x,y)\in \R^2\mid xy=1 \} \]

[証明]
$f:C\to \R,$
$\ \ (x,y)\mapsto x$
とすると, $f$ は連続である.
連続像 $f(C)=\R\sm\{0\}$ は連結でないので, 定理Ａより, $C$ も連結でない.

補足
$f:C\to \R$ が連続写像である理由：
$f:\R^2\to \R$ を $f(x,y)=x$ で定めると $f$ は連続である.
$f$ の定義域を $C$ に制限した写像 $f|_C$ も連続であることが相対位相の定義からわかる.
したがって, $f:C\to \R$ は連続である.

なお, 上の例は次のように高次元に一般化できる.

問題
$X:xyzw=1 \subset \R^4$ は連結でないことを示せ.

[証明]
$f:X\to \R,\ $ $(x,y,z,w)\mapsto x$ とすると, $f$ は連続である.
連続像 $f(X)=\R\sm\{0\}$ は連結でないので, $X$ も連結でない.

問題
$\Q$ は連結でないことを示せ.

[証明]
\[ U=(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cap \Q\] は $\Q$ の開集合である. \[ U=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\cap \Q\] より, $U$ は $\Q$ の閉集合でもある.
従って, $U$ は開かつ閉なので $\Q$ は連結でない.

問題
一般線形群 $\GL_n(\R)$ は連結でないことを示せ.

[証明]
一般線形群の性質を参照してください.

問題
直交群 $O(n)$ は連結でないことを示せ.

[証明]
直交群と特殊直交群【問題と証明】を参照してください.

【付録】単連結な空間の商空間は必ずしも単連結でない

連結な空間の商空間は連結である.
実際, 自然な全射 $p:X⟶X/\!\sim$ は連続写像なので, 定理Ａより, $X$ が連結ならば $X/\!\sim$ も連結である.

しかし,「単連結」な空間の商空間は必ずしも「単連結」でない.

問題
$X$ を単連結な位相空間とする.
$X$ のある商空間が単連結でない例を見つけよ.

正方形 \[ X:=\{(x,y)\in \R^2 \mid |x|\leq 1,\ |y|\leq 1\} \] は単連結である.
しかし, 正方形の対辺を(ねじることなく)貼り合わせることによってドーナツにする商空間 $X/\!\sim$ を考えると, $X/\!\sim$ は単連結でない.