【LaTeX】極限 (lim)

この記事では、LaTeXで極限 $\lim$ を出力する方法を紹介します。

最初に、主要なコマンドを表にまとめておきます。

表示	コマンド	タイプ
$\lim$	\lim	極限
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}$	\lim_{n \to \infty}
$\varlimsup$	\varlimsup	上極限
$\limsup$	\limsup
$\varliminf$	\varliminf	下極限
$\liminf$	\liminf
$\varprojlim$	\varprojlim	射影極限
$\projlim$	\projlim
$\varinjlim$	\varinjlim	帰納極限
$\injlim$	\injlim

下記の表は極限でよく使われる記号です。

表示	コマンド	意味		表示	コマンド	意味
$\sup$	\sup	上限		$\inf$	\inf	下限
$\max$	\max	最大		$\min$	\min	最小
$\to$	\to	矢印		$\infty$	\infty	無限大

※矢印については【LaTeX】矢印を参照。

以下、詳しく説明していきます。

極限・上極限・下極限

極限

極限 $\lim$ を出力するには\limを使います：

\lim_{n \to \infty} a_n
\lim_{x \to a} f(x)

Output:

$\ds\lim_{n \to \infty} a_n\ \ \ $ $\ds\lim_{x \to a} f(x)\ \ \ $

上極限

上極限 $\limsup,\ \varlimsup$ を出力するには\limsup, \varlimsupを使います。

\limsup_{n \to \infty} a_n
\varlimsup_{n \to \infty} a_n
\lim_{n \to \infty}\left( \sup_{k \geq n} a_k \right)

Output:

$\ds\limsup_{n \to \infty} a_n\ \ \ $ $\ds\varlimsup_{n \to \infty} a_n\ \ \ $ $\ds\lim_{n \to \infty}\left( \sup_{k \geq n} a_k \right)$

※\geqは $\geq$ を表すコマンド(→【LaTeX】不等号)。
※\left( \right)は( )を表し, 括弧の大きさを(括弧の中身に応じて)自動で調節してくれるコマンド(→【LaTeX】括弧)。

下極限

下極限 $\liminf,\ \varliminf$ を出力するには\liminf, \varliminfを使います。

\liminf_{n \to \infty} a_n
\varliminf_{n \to \infty} a_n
\lim_{n \to \infty}\left( \inf_{k \geq n} a_k \right)

Output:

$\ds\liminf_{n \to \infty} a_n\ \ \ $ $\ds\varliminf_{n \to \infty} a_n\ \ \ $ $\ds\lim_{n \to \infty}\left( \inf_{k \geq n} a_k \right)$

ディスプレイスタイルとテキストスタイル

$\lim$ の下に $n\to \infty$ を添えるには下記のように出力します。

表示	コマンド	タイプ
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}$	\lim_{n \to \infty}	ディスプレイスタイル
$\lim_{n \to \infty}$	\lim_{n \to \infty}	テキストスタイル

上記のとおり、$n\to \infty$ の位置がディスプレイスタイル(数式)とテキストスタイル(文中)では違うことに注意してください。

\displaystyleと\limits

文中でも $\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n$ のようにディスプレイスタイルで表示させたければ\displaystyle、または\limitsを使います。

表示	コマンド
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$	\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$	\lim\limits_{n \to \infty} a_n

両者の違いを理解するために次のサンプルを見てください。

\displaystyle\lim_{n \to \infty} \lim_{x\to 0}
\lim\limits_{n \to \infty} \lim_{x\to 0}

Output:

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \lim_{x\to 0}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \lim_{x\to 0}$

上記のとおり。前者の場合、\displaystyleの後に続く記号はすべてディスプレイスタイルになります。後者の場合、\limitsが付いた $\lim$ だけディスプレイスタイルになります。

※\displaystyleでも\limitsのように特定の記号だけディスプレイスタイルにしたいのであれば、その記号を{ }で囲みます。

{\displaystyle\lim_{n \to \infty} } \lim_{x\to 0}

Output:

${\displaystyle\lim_{n \to \infty} }\lim_{x\to 0}$

\textstyleと\nolimits

逆に、数式環境で $\lim_{n \to \infty}a_n$ のようにテキストスタイルで表示させたければ\textstyleまたは\nolimitsを用います。

表示	コマンド
$\textstyle\lim_{n \to \infty} a_n$	\textstyle\lim_{n \to \infty} a_n
$\lim\nolimits_{n \to \infty} a_n$	\lim\nolimits_{n \to \infty} a_n

両者の違いはディスプレイスタイルと同様です。 つまり、前者の場合、\textstyleの後に続く記号はすべてテキストスタイルになります。後者の場合、\nolimitsが付いた $\lim$ だけテキストスタイルになります。

備考

２行(複数行)の記号を入れる方法

$\ds\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}}$ のように $\lim$ の下に複数行にわたる記号を挿入する場合は \substackを使います：

A \substack{\to \\ \to} B
A \substack{\to \\ \to \\ \to} B
\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y)

Output:

$\ds A \substack{\to \\ \to} B\ \ \ $
$\ds A \substack{\to \\ \to \\ \to} B\ \ \ $
$\ds \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y)$

※\\は改行コマンド。