この記事では、極限 $\lim,$ 上極限 $\varlimsup,$ 下極限 $\varliminf$ などのコマンドについて解説します。
| 表示 | コマンド | タイプ |
|---|---|---|
| $\lim$ | \lim | 極限 |
| $\displaystyle\lim_{n \to \infty}$ | \lim_{n \to \infty} |
|
| $\varlimsup$ | \varlimsup | 上極限 |
| $\limsup$ | \limsup | |
| $\varliminf$ | \varliminf | 下極限 |
| $\liminf$ | \liminf | |
| $\varprojlim$ | \varprojlim | 射影極限 |
| $\projlim$ | \projlim | |
| $\varinjlim$ | \varinjlim | 帰納極限 |
| $\injlim$ | \injlim |
下記のコマンドは極限でよく使われる記号です。
| 表示 | コマンド | タイプ | 表示 | コマンド | タイプ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sup$ | \sup | 上限 | $\inf$ | \inf | 下限 | |
| $\max$ | \max | 最大 | $\min$ | \min | 最小 | |
| $\to$ | \to | 矢印 | $\infty$ | \infty | 無限大 |
※\to以外の矢印については【LaTeX】矢印を参照してください。
以下、極限のコマンドについて詳しく解説します。
$\lim$ の下に $n\to \infty$ を添えるには下記のように出力します。
| 表示 | コマンド | タイプ |
|---|---|---|
| $\displaystyle\lim_{n \to \infty}$ | \lim_{n \to \infty} | ディスプレイスタイル |
| $\lim_{n \to \infty}$ | \lim_{n \to \infty} | テキストスタイル |
上記のとおり、$n\to \infty$ の位置がディスプレイスタイル(数式)とテキストスタイル(文中)では違うことに注意してください。
\displaystyleと\limits
文中でも $\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n$
のようにディスプレイスタイルで表示させたければ\displaystyle、または\limitsを使います。
| 表示 | コマンド |
|---|---|
| $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ | \displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n |
| $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ | \lim\limits_{n \to \infty} a_n |
両者の違いを理解するために次のサンプルを見てください。
\displaystyle\lim_{n \to \infty} \lim_{x\to 0}
\lim\limits_{n \to \infty} \lim_{x\to 0}
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \lim_{x\to 0}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \lim_{x\to 0}$
上記のとおり。前者の場合、\displaystyleの後に続く記号はすべてディスプレイスタイルになります。後者の場合、\limitsが付いた $\lim$ だけディスプレイスタイルになります。
※\displaystyleでも\limitsのように特定の記号だけディスプレイスタイルにしたいのであれば、その記号を{ }で囲みます。
{\displaystyle\lim_{n \to \infty} } \lim_{x\to 0}${\displaystyle\lim_{n \to \infty} }\lim_{x\to 0}$
\textstyleと\nolimits
逆に、数式環境で $\lim_{n \to \infty}a_n$ のようにテキストスタイルで表示させたければ\textstyleまたは\nolimitsを用います。
| 表示 | コマンド |
|---|---|
| $\textstyle\lim_{n \to \infty} a_n$ | \textstyle\lim_{n \to \infty} a_n |
| $\lim\nolimits_{n \to \infty} a_n$ | \lim\nolimits_{n \to \infty} a_n |
両者の違いはディスプレイスタイルと同様です。
つまり、前者の場合、\textstyleの後に続く記号はすべてテキストスタイルになります。後者の場合、\nolimitsが付いた $\lim$ だけテキストスタイルになります。
\limit,\superior)
上極限を出力するには\limsupか\varlimsupを使います。
\limsup_{n \to \infty} a_n
\varlimsup_{n \to \infty} a_n
\lim_{n \to \infty}\left( \sup_{k \geq n} a_k \right)$\displaystyle\limsup_{n \to \infty} a_n\ \ \ $ $\displaystyle\varlimsup_{n \to \infty} a_n\ \ \ $ $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left( \sup_{k \geq n} a_k \right)$
※\geqは $\geq$ を表すコマンド(→【LaTeX】不等号)。
※\left( \right)は( )を表し,
括弧の大きさを(括弧の中身に応じて)自動で調節してくれるコマンド(→【LaTeX】括弧)。
\limit,\inferior)
下極限を出力するには\liminfか\varliminfを使います。
\liminf_{n \to \infty} a_n
\varliminf_{n \to \infty} a_n
\lim_{n \to \infty}\left( \inf_{k \geq n} a_k \right)$\displaystyle\liminf_{n \to \infty} a_n\ \ \ $ $\displaystyle\varliminf_{n \to \infty} a_n\ \ \ $ $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left( \inf_{k \geq n} a_k \right)$
$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}}$ のように極限 $\lim$
の下に複数行にわたる記号を挿入する場合,
\substackを使います。
| 表示 | コマンド |
|---|---|
| $A \substack{\to \\ \to} B$ | |
| $A \substack{\to \\ \to \\ \to} B$ | |
| $$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y)$$ |
|
※\\は改行のコマンド。