ユニタリ行列の性質【証明】

この記事では, ユニタリ行列について次の性質を証明します。

• ユニタリ行列の行列式は絶対値が $1$ の複素数
• $A,B$ がユニタリ行列 $\Rightarrow$ $AB, A^{-1}$ もユニタリ行列
• $A$ はユニタリ行列 $\iff$ $A$ の列(行)ベクトル全体は正規直交基底
• エルミート行列はユニタリ行列で対角化される

まず定義を確認しておきます。

定義
複素正方行列 $U$ が \[ U^* U=I \] を満たすとき, $U$ をユニタリ行列(unitary matrix)という.
(※$I$ は単位行列.)

※$U^* U=I$ ならば $UU^*=I$ である. $(\be UU^*=(U^* U)^*=I^*=I.)$

例
次の行列はユニタリ行列である. \[ \m{ \alpha & \beta \cr -\ol{\beta} & \ol{\alpha} }\]

ユニタリ行列の性質

ユニタリ行列の行列式は絶対値が $1$ の複素数

定理
$A$ をユニタリ行列とすると, $|\det(A)|=1$

[証明]
$A$ をユニタリ行列とする. $A^* A=I$ より \[\eq{ |\det(A)|^2 & =\det(A)\ol{\det(A)} \\ & \xeq{*1}\det(A)\det(A^*) \\ & \xeq{*2}\det(AA^*) \\ & =\det(I) \\ & =1. }\] \[ \Big(\be \ol{\det(A)}=\det(\ol{A}) =\det({}^t\ol{A})=\det(A^*) \Big) \] \[ \th |\det(A)|=1 \] $(*1)$ 転置行列の性質より, $\det(A)=\det(\tA).$
$(*2)$ 行列式の性質より, $\det(A)\det(B)=\det(AB).$

$A,B$ がユニタリ行列 $\Rightarrow$ $AB, A^{-1}$ もユニタリ行列

定理
$A,B$ がユニタリ行列ならば, 積 $AB$ も逆行列 $A^{-1}$ もユニタリ行列である.

[証明]
$A,B$ はユニタリ行列なので, $A^* A=I,\ \ B^*B=I$ である. \[ (AB)^*(AB)=(B^*A^* )(AB) =B^*(A^* A)B=B^*B=I. \] \[ (A^{-1})^*A^{-1}=(A^*)^{-1}A^{-1} =(AA^*)^{-1}=I^{-1}=I. \] よって, 積 $AB$ も逆行列 $A^{-1}$ もユニタリ行列である.

$A$ はユニタリ行列 $\iff$ $A$ の列(行)ベクトル全体は正規直交基底

定理
$A$ を $n$ 次複素正方行列とするとき, 次の５つの条件は同値である.
ただし, $\C^n$ には標準的内積を考える.
(1) $A$ はユニタリ行列である.
(2) $A$ の列ベクトル全体は $\C^n$ の正規直交基底である.
(3) $A$ の行ベクトル全体は $\C^n$ の正規直交基底である.
(4) $A:\C^n\to \C^n$ は計量を保つ.
(5) $A:\C^n\to \C^n$ は長さを保つ.

[証明]
\[ A=(\a_1 \cd \a_n)=\m{ \a_1'\\ \cd \\ \a_n' } \] をそれぞれ $A$ の列ベクトル表示, 行ベクトル表示とする.

(1) $\iff$ (2)
$A$ の列ベクトル表示で考えれば, \[\eq{ A \text{はユニタリ行列} & \iff A^* A=I \\ & \iff \a_i^*\a_j=\delta_{ij} \ \ \ \ \ \ (1\leq i,j\leq n) \\ & \iff (\a_i,\a_j)=\delta_{ij} \ \ \ (1\leq i,j\leq n) \\ & \iff \a_1, \cd, \a_n \ \text{は} \ \C^n \ \text{の正規直交基底} }\] (1) $\iff$ (3)
$A$ の行ベクトル表示で考えれば, \[\eq{ A \text{はユニタリ行列} & \iff AA^*=I \\ & \iff \a_i'\a_j'^*=\delta_{ij} \ \ \ \ \ \ (1\leq i,j\leq n) \\ & \iff (\a_i',\a_j')=\delta_{ij} \ \ \ (1\leq i,j\leq n) \\ & \iff \a_1', \cd, \a_n' \ \text{は} \ \C^n \ \text{の正規直交基底} }\] (2) $\iff$ (4)
$\a_1,\cd,\a_n$ が $\R^n$ の正規直交基底であるとき, \[\eq{ \x & =x_1\e_1+\cd +x_n\e_n, \\ \y & =y_1\e_1+\cd +y_n\e_n }\] とすると, $A\e_i=\a_i\ (1\leq i\leq n)$ より, \[\eq{ (A\x,A\y) & =(x_1\e_1+\cd +x_n\e_n,y_1\e_1+\cd +y_n\e_n) \\ & =x_1y_1+\cd+x_ny_n \\ & =(\x,\y) }\] よって, (4)が成り立つ.

逆に, $A:\C^n\to \C^n$ は計量を保つとすると,
$1\leq i,j \leq n$ で \[ (\a_i,\a_j)=(A\e_i,A\e_j) =(\e_i,\e_j)=\delta_{ij} \] よって, $\a_1,\cd,\a_n$ は $\C^n$ の正規直交基底である.

(4) $\iff$ (5)
内積空間の性質から成り立つ.

エルミート行列はユニタリ行列で対角化される

定理
$n$ 次複素正方行列 $A$ について, 次の２つの条件は同値である.
(1) $A$ はエルミート行列である.
(2) $A$ は適当なユニタリ行列 $U$ によって, 対角成分が実数からなる行列に対角化できる： \[ U^{-1}AU= \m{ \l_1 & & O \cr & \ddots & \cr O & & \l_n } \ \ \ (\l_1,\cd,\l_n\in \R) \]

[証明]
エルミート行列の性質を参照してください。