行列式【性質と証明】

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この記事では、行列式(determinant)の性質を証明します。

定義
$n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ に対して, $det(A)$ を $$det(A)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{1\sigma (1)}{a}_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}$$ と定める. この $det(A)$ を $A$ の行列式(determinant)という.
$det(A)$ を $|A|$ と表すこともある.

※文献によっては $$det(A)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)1}{a}_{\sigma (2)2}\cdots a_{\sigma (n)n}$$ のように、添え字が逆に定義されているので注意.

行列式の性質

転置行列の行列式

定理
任意の正方行列 $A$ に対して, $$det({}^{t}A)=det(A)$$

▼ 証明

[証明]  $A=(a_{ij})$ とすれば, $$detA=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{1\sigma (1)}{a}_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}.$$ $\sigma$ が $S_n$ を動くとき, ${\sigma }^{-1}$ も $S_n$ を動くから, $$detA=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}({\sigma }^{-1})\cdot a_{1{\sigma }^{-1}(1)}\cdots a_{n{\sigma }^{-1}(n)}.$$ ${\sigma }^{-1}(1),{\sigma }^{-1}(2),\cdots ,{\sigma }^{-1}(n)$ は全体としては $1,2,\cdots ,n$ と一致しているから, これを小さい順に並べかえる. 任意の $i(i=1,2,\cdots ,n)$ に対し, ${\sigma }^{-1}(i)=k$ とすれば, $i=\sigma (k)$ であるから, $$detA=det(A)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)1}{a}_{\sigma (2)2}\cdots a_{\sigma (n)n}.$$ これは $det({}^{t}A)$ にほかならない.

この定理により, 行列式に関する性質で, 列に関して成り立つことは, すべて行に関しても成り立つことがわかる.

多重線形性と交代性

定理 (多重線形性)
$A\in M_n(K)$ とする. 各 $j=1,\cdots ,n$ に対して, $$\begin{array}{rl}& det({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_j+{\alpha }_j^{\prime },\cdots ,{\alpha }_n)\\ & =det({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_j,\cdots ,{\alpha }_n)+det({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_j^{\prime },\cdots ,{\alpha }_n),\\ & det({\alpha }_1,\cdots ,c{\alpha }_j,\cdots ,{\alpha }_n)=cdet({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_j,\cdots ,{\alpha }_n).\end{array}$$

▼ 証明

[証明]  加法的： $$\begin{array}{rl}\text{(左辺)}& =\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)1}\cdots (a_{\sigma (j)j}+a_{\sigma (j)j}^{\prime })\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & =\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)1}\cdots a_{\sigma (j)j}\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & +\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)1}\cdots a_{\sigma (j)j}^{\prime }\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & =\text{(右辺)}.\end{array}$$ スカラー倍： $$\begin{array}{rl}\text{(左辺)}& =\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)1}\cdots (c{a}_{\sigma (j)j})\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & =c\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)1}\cdots a_{\sigma (j)j}\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & =\text{(右辺)}.\end{array}$$

定理 (交代性)
任意の $\tau \in S_n$ に対して, $$det({\alpha }_{\tau (1)},{\alpha }_{\tau (2)},\cdots ,{\alpha }_{\tau (n)})=\mathrm{sgn}(\tau )det({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n).$$

▼ 証明

[証明]  まず, 次の(a),(b)が成り立つことに注意しよう.
(a)写像 $S_n\to S_n,$ $\sigma \mapsto \sigma \tau$ は全単射である.
(b) $\mathrm{sgn}(\sigma )=\mathrm{sgn}(\tau )\mathrm{sgn}(\sigma \tau )$.
従って $$ $$\begin{array}{rl}& det({\alpha }_{\tau (1)},{\alpha }_{\tau (2)},\cdots ,{\alpha }_{\tau (n)})\\ & =\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{1\sigma \tau (1)}{a}_{2\sigma \tau (2)}\cdots a_{n\sigma \tau (n)}\\ & =\mathrm{sgn}(\tau )\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma \tau )a_{1\sigma \tau (1)}{a}_{2\sigma \tau (2)}\cdots a_{n\sigma \tau (n)}\\ & =\mathrm{sgn}(\tau )\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{1\sigma (1)}{a}_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & =\mathrm{sgn}(\tau )\cdot detA.\end{array}$$

系
行列 $A$ の二つの列(または行)が一致すれば $|A|=0.$

[証明]  行列式の交代性から成り立つ.

系
行列 $A$ の二つの列(または行)をとりかえたものを $A^{\prime }$ とすると, $det{A}^{\prime }=-detA.$

[証明]  行列式の交代性から成り立つ.

定理
行列 $A$ のある列(または行)に対して, 他のある列(または行)の定数倍を加えて得られる行列式は, $detA$ に等しい. 例えば, 列の場合, $$det({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_i+c{\alpha }_j,\cdots {\alpha }_n)=detA.$$ ただし, 左辺は $A$ の第 $i$ 列に第 $j$ 列の $c$ 倍を加えた得られた行列の行列式.

[証明]  行列式の多重線形性と交代性から成り立つ.

次の定理は行列式を特徴づけるものである.

定理
$n$ 個の $n$ 項列ベクトルの組 ${\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\cdots ,{\mathit{x}}_n$ に対して数 $F({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\cdots ,{\mathit{x}}_n)$ を対応させる写像 $F$ が,
多重線形性：各 $j=1,2,\cdots ,n$ に対して, $$\begin{array}{rl}& F({\mathit{x}}_1,\cdots ,{\mathit{x}}_j+{\mathit{x}}_j^{\prime },\cdots ,{\mathit{x}}_n)\\ & =F({\mathit{x}}_1,\cdots ,{\mathit{x}}_j,\cdots ,{\mathit{x}}_n)+F({\mathit{x}}_1,\cdots ,{\mathit{x}}_j^{\prime },\cdots ,{\mathit{x}}_n),\\ & F({\mathit{x}}_1,\cdots ,c{\mathit{x}}_j,\cdots ,{\mathit{x}}_n)=cF({\mathit{x}}_1,\cdots ,{\mathit{x}}_j,\cdots ,{\mathit{x}}_n).\end{array}$$ および交代性：各 $\tau \in S_n$ に対して, $$F({\mathit{x}}_{\tau (1)},{\mathit{x}}_{\tau (2)},\cdots ,{\mathit{x}}_{\tau (n)})=\mathrm{sgn}(\tau )\cdot F({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\cdots ,{\mathit{x}}_n).$$ の両性質を持つならば, $F$ は定数倍を除いて写像 $det$ に一致する. 詳しくは, $$F({\mathit{x}}_{\tau (1)},{\mathit{x}}_{\tau (2)},\cdots ,{\mathit{x}}_{\tau (n)})=F({\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2,\cdots ,{\mathit{e}}_n)\cdot det({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\cdots ,{\mathit{x}}_n)$$ た成り立つ. ただし, ${\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2,\cdots ,{\mathit{e}}_n$ は単位ベクトルである.

▼ 証明

[証明]  $${\mathit{x}}_j=\sum _{i=1}^n{x}_{ij}{\mathit{e}}_i(j=1,2,\cdots ,n)$$ とおく. 多重線形性を繰り返し用いると, $$\begin{array}{rl}F({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\cdots ,{\mathit{x}}_n)& =F(\sum _{i_1=1}^n{x}_{i_{1}1}{\mathit{e}}_{i_1},\sum _{i_2=1}^n{x}_{i_{2}1}{\mathit{e}}_{i_2},\cdots ,\sum _{i_n=1}^n{x}_{i_{n}1}{\mathit{e}}_{i_n}).\\ & =\sum _{i_1=1}^n\sum _{i_2=1}^n\cdots \sum _{i_n=1}^n{x}_{i_{1}1}{x}_{i_{2}1}\cdots x_{i_{n}1}F({\mathit{e}}_{i_1},{\mathit{e}}_{i_2},\cdots ,{\mathit{e}}_{i_n})\end{array}$$ となる. この一つの項において, $i_1,i_2,\cdots ,i_n$ のなかに同じものがあれば, 交代性により, $F({\mathit{e}}_{i_1},{\mathit{e}}_{i_2},\cdots ,{\mathit{e}}_{i_n})=0$ である. $i_1,i_2,\cdots ,i_n$ がすべて相異なれば, $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ i_1& i_2& \cdots & i_n\end{array}\right)$ は $n$ 文字の置換であるから, 再び交代性により, $$F({\mathit{e}}_{i_1},{\mathit{e}}_{i_2},\cdots ,{\mathit{e}}_{i_n})=\mathrm{sgn}(\sigma )F({\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2,\cdots ,{\mathit{e}}_n)$$ となる. したがって, $$\begin{array}{rl}F({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\cdots ,{\mathit{x}}_n)& =\sum _{\sigma \in S_n}{x}_{\sigma (1)1}{x}_{\sigma (2)2}\cdots x_{\sigma (n)n}\cdot \mathrm{sgn}(\sigma )\cdot F({\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2,\cdots ,{\mathit{e}}_n)\\ & =F({\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2,\cdots ,{\mathit{e}}_n)det({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\cdots ,{\mathit{x}}_n).\end{array}$$

行列式の積

定理Ｘ
$n$ 次正方行列 $A,B$ に対して, $$det(AB)=det(A)det(B).$$

▼ 証明

[証明]  行列式の定義から直接証明できるが(少しややこしいので)ここでは前定理を用いて証明する.
$A,B$ を $n$ 次行列とし, $B=({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\cdots ,{\mathit{x}}_n)$ とする. $$F({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\cdots ,{\mathit{x}}_n)=det(A{\mathit{x}}_1,A{\mathit{x}}_2,\cdots ,A{\mathit{x}}_n)=det(AB)$$ とおく. 簡単にわかるように, $F$ は多重線形性および交代性をもつ. したがって, $$\begin{array}{rl}det(AB)& =F({\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2,\cdots ,{\mathit{e}}_n)\cdot det({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\cdots {\mathit{x}}_n)\\ & =det(A{\mathit{e}}_1,A{\mathit{e}}_2,\cdots ,A{\mathit{e}}_n)\cdot det({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\cdots {\mathit{x}}_n)\\ & =det(A)det(B).\end{array}$$

逆行列の行列式

定理Ｙ
$A$ を正則行列とし, その逆行列を $A^{-1}$ とする. このとき, $$det(A^{-1})=det(A{)}^{-1}.$$

▼ 証明

[証明]  $$det(A)det(A^{-1})=det(A{A}^{-1})=det(I)=1.$$ $$\therefore det(A^{-1})=det(A{)}^{-1}.$$

行列式は基底変換によらない

定理Ｚ
$A$ を $n$ 次正方行列とし, $P$ を $n$ 次正則行列とする. このとき, $$det(PA{P}^{-1})=det(A).$$

▼ 証明

[証明]  $$\begin{array}{rl}det(PA{P}^{-1})& =det(P)det(A)det(P^{-1})\\ & =det(P)det(A)det(P{)}^{-1}\\ & =det(A).\end{array}$$

※正方行列 $A$ のトレース $\mathrm{tr}(A)$ も同様の性質をもつ. つまり $$\mathrm{tr}(PA{P}^{-1})=\mathrm{tr}(A)$$ が成り立つ. 証明はトレースの性質【証明】にある.

$A$ が正則行列 $⟺$ $det(A)\ne 0$

定理
$A$ を正方行列とする. このとき,
$$A\text{が正則}⟺|A|\ne 0.$$ さらに, このとき $A$ の逆行列は $A^{-1}=\tilde{A}/|A|$ である. ここで $\tilde{A}$ は $A$ の余因子行列である.

▼ 証明

[証明]  $(⟹)$ $A$ が正則ならば, $AB=I$ となる正方行列 $B$ がとれる. $$|A|\cdot |B|=|AB|=|I|=1$$ であるから, 特に $|A|\ne 0$ である.

$(⟸)$ $|A|\ne 0$ のとき, $$B={\displaystyle \frac{1}{|A|}}\tilde{A}$$ とおくと, $$\begin{array}{rl}AB& =A({\displaystyle \frac{1}{|A|}}\tilde{A})={\displaystyle \frac{1}{|A|}}A\tilde{A}={\displaystyle \frac{1}{|A|}}|A|I=I,\\ BA& =({\displaystyle \frac{1}{|A|}}\tilde{A})A={\displaystyle \frac{1}{|A|}}(\tilde{A}A)={\displaystyle \frac{1}{|A|}}|A|I=I.\end{array}$$ ゆえに $A$ は正則である.

上の計算から, $A$ の逆行列は $A^{-1}=B={\displaystyle \frac{1}{|A|}}\tilde{A}$ で与えられる.

行列式のブロック

定理
行列 $A=(a_{ij})$ について, $A$ の第１列が２行目以下ですべて０ならば次が成り立つ. $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$ ※第１列の成分が２行目以下では全部０のとき

▼ 証明

[証明]  $S_{n-1}^{\prime }$ を $\{2,3,\cdots ,n\}$ 上の置換全体とする. $a_{21}=a_{31}=\cdots =a_{n1}=0$ により, $$\begin{array}{rl}det(A)& =\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{1\sigma (1)}{a}_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & =\sum _{\begin{array}{c}\sigma \in S_n\\ \sigma (1)=1\end{array}}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{11}{a}_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & =a_{11}\sum _{\begin{array}{c}\sigma \in S_n\\ \sigma (1)=1\end{array}}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & =a_{11}\sum _{\tau \in S_{n-1}^{\prime }}\mathrm{sgn}(\tau )a_{2\tau (2)}\cdots a_{n\tau (n)}\\ & =a_{11}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|.\end{array}$$