Takatani Note

ゾルゲンフライ直線【性質と証明】

$ \def\S{\mathbb{S}} \def\A{\mathcal{A}} \def\U{\mathcal{U}} $

この記事では、下記を証明します。

上記の中で、重要なのは下記です。

上記3つの性質は重要です。
その重要性は記事の後半で説明します。

では、ゾルゲンフライ直線の定義から始めます。

定義
$\R$ において, 左半開区間の全体を $\B$ とする. つまり
\[ \B=\{ (a,b] \subset\R\mid a,b \in \R, a< b\} \] と定める.
$\B$ によって生成される位相をゾルゲンフライ位相といい, $\O_S$ で表す.
位相空間 $(\R, \O_S)$ をゾルゲンフライ直線 (Sorgenfrey line)という.
ここでは, $(\R,\O_S)$ を簡単に $\S$ で表すことにする.

さて、下記はゾルゲンフライ直線の重要な性質です。

定理
$\R$ の通常の位相を $\O$ とすると, $\O \subset \O_S.$

証明
[証明]
開区間の全体は $\O$ の開基である.
(すなわち, $(\R,\O)$ 任意の開集合は開区間の和集合で表せる.)
従って, 任意の開区間 $(a,b)$ に対して, $(a,b)$ が半開区間の和集合で表せることを示せばよい.
$a< b-1/N$ を満たす正の整数 $N\in \Z$ をとる. このとき, \[ (a,b)=\bigcup_{n\geq N}(a,b-1/n] \] が成り立つ.

つまり、ゾルゲンフライ位相は通常の位相より強いです。
すなわち、$(\R,\O)$ の任意の開集合は $(\R,\O_S)$ の開集合です。

ゾルゲンフライ直線の性質

ハウスドルフである

定理
$\S$ はハウスドルフである.

証明
[証明]
$\O \subset \O_S$ より明らかである.

[別解]
相異なる2点 $p,q\in \S$ をとる.
$r=|p-q|/2$ とすると, $r$ は $p,q$ 間の(ユークリッド)距離の半分である.
このとき, \[ U=(p-r,p],\ \ V=(q-r,q] \] とすると, $U,V$ は $p$ と $q$ を分離する開集合である.

コンパクトでない

定理
$\S$ はコンパクトでない.

証明
[証明]
$\O \subset \O_S$ より明らかである.

[別解]
$U_n=(n-1,n]$ とすると, $\S$ は次のように被覆できる. \[ \S=\bigcup_{n\in\Z}U_n \] この開被覆のうち, 有限個だけで $\S$ を覆えない.
よって, $\S$ はコンパクトでない.

連結でない

定理
$\S$ は連結でない.

証明
[証明]
\[ U=(-\infty, 0],\ \ \ V=(0,\infty) \] とおくと, $U,V$ は $\S$ の開集合である.
$\S=U\cup V$ かつ $U\cap V=\emp$ より, $\S$ は連結でない.

※$U,V$ が $\S$ の開集合である理由: \[ U=\bigcup_{n\in\N} (-n,-n+1], \ \ \ V=\bigcup_{n\in\N} (n-1,n] \] と表せるから.
ここで, $\N$ は正の整数全体の集合を表す.

※通常の位相が入った $\R$ は連結だが, $\S$ は連結でない.
したがって, $\R$ と $\S$ は同相でない.

第1可算公理を満たす

定理
$\S$ は第1可算公理を満たす.

証明
[証明]
任意の $x\in \S$ に対して,
$\ \ \ (x-\dfrac{1}{n},x]$ $(n\in \N)$
は $x$ の基本近傍系である.

第2可算公理を満たさない

定理
$\S$ は第2可算公理を満たさない.

証明
[証明]
$\S$ が第2可算公理を満たすと仮定する.
$\A$ を $\O_S$ の可算個の開基とする.
目標は $\A$ が非可算であることを示し, 矛盾を導くことである.

任意の無理数 $x\in \R\sm\Q$ をとる.
ここで, 開集合 $A_x\in \A$ を $x\in A_x \subseteq (x-1,x]$ となるようにとる.
(実際にそのような $A_x$ をとれる理由は, $(x-1,x$] は $\S$ の開集合であることと, $\A$ が $\S$ の開基であることから言える.)

$\A':=\{ A_x \mid x\in \R\sm\Q\}$ $\subseteq \A$ とする.
$\A'$ が非可算であることが言えたとしよう.
すると, 集合の濃度に関して, $\N < \A'\leq \A$ であるから, $\A$ は非可算である. 従って, 矛盾を導くことになる.
よって, 写像
$f:\R\sm\Q \to \A',$
$\ \ \ x\mapsto A_x$
が単射であることが言えたら証明は完了する.

$f$ が単射でないと仮定する.
このとき, 次を満たす $x,y\in \R\sm\Q$ が存在する.
$x\neq y$ かつ $A_x=A_y.$
ここで, $x< y$ としても一般性を失わない.
ところが, $x< y$ だと, $y\notin A_x$ である.
これは, $y\in A_y=A_x$ であることに矛盾する.
よって, $f$ は単射である.
これで証明は完了した.

距離化可能でない

定理
$\S$ は距離化可能でない.

証明
[証明]
$\S$ は距離空間であると仮定する.
$\S$ は可分なので,($\because$ $\Q$ は $\S$ で稠密) 下記の補題より, 第2可算公理を満たす.
しかし, $\S$ は第2可算公理を満たさないので矛盾する.

補題[松坂 6章定理1]
可分な距離空間は第2可算公理を満たす.

正則である

定理
$\S$ は正則である.

証明
[証明]
$A$ を $\S$ の閉集合とし, 任意の $x\in A^c$ をとる.
$A^c$ は開集合なので, $\e>0$ を十分小さくとれば $(x-\e,\ x]\subset A^c$ が成り立つ.
ここで, $U=(x-\e/2,\ x]$ とおくと,
$\ \ \ \ol{U}=[x-\e/2,\ x]$ $\subset A^c$
であるから, $\ol{U}^c$ は $A$ を含む開集合である.
そして, $U$ は $x$ を含む開集合であり,
$\ol{U}^c\cap U=\emp$ が成り立つ.
よって, $\S$ は正則である.
[終了]

リンデレーフである

定理
$\S$ はリンデレーフである.

証明
[証明]
$\U$ を $\S$ の開被覆とする.
$\U$ から可算個の開集合を取り出して, 閉区間 $[-n,n]$ を被覆できることを示せばよい.(※$n$ は任意の自然数.)
なぜなら, それが示せたら,
$\ \ \ \S=\bigcup_{n\in\N}[-n,n]$
より, $\S$ も可算個で被覆できる.

$A=[-n,n]\cap Q$ とおく.
各 $r\in A$ に対して, $r\in U_r$ となる $U_r\in \U$ をとる.
$A$ は可算集合なので, $\{U_r\}_{r\in A}$ は $[-n,n]$ の可算被覆である.

正規である

$\S$ は正則かつリンデレーフであることを示したので, 次の定理より $\S$ は正規である.

定理
正則なリンデレーフ空間 $X$ は正規である.

証明
[証明]
$A,B$ を $X$ の互いに交わらない閉集合とする.
$X$ は正則なので, 各 $x\in A$ に対して,
$\ \ \ x\in A\subset U_x$ かつ $\ol{U_x}\cap B=\emp$
となる開集合 $U_x$ がとれる.
$\ \ \ \U=\{U_x\in \O\mid x\in A\}$
とすると, $\U$ は $A$ の開被覆である.
$X$ はリンデレーフなので, 下記の補題より $A$ もリンデレーフである.
従って, $\U$ から可算個の開集合をとって $A$ を被覆できる.
その被覆を $\mathcal{W}=\{W_n\mid n\in \N\}$ とおく.
上と同様に $B$ の可算な開被覆 $\mathcal{Z}=\{Z_n\mid n\in\N\}$ をとる.
さて, 開集合 $W_n,Z_n$ を次のように作り変える.
$\ \ \ \displaystyle W_n'=W_n-\bigcup_{i=1}^n\ol{Z_i},$
$\ \ \ \displaystyle Z_n'=Z_n-\bigcup_{i=1}^n\ol{W_i}.$
このとき,
$\ \ \ W'=\bigcup_{n\in\N}W_n',$
$\ \ \ Z'=\bigcup_{n\in\N}Z_n'$
とおくと, $W',Z'$ は開集合であり,
$\ \ \ A\subset W',\ B\subset Z',\ $ $W'\cap Z'=\emp$
が成り立つ.
よって, $X$ は正規である.

補題
リンデレーフ空間の任意の閉集合はリンデレーフである.

[証明]
定理「コンパクト空間の任意の閉集合はコンパクトである」の証明と同様である.

ゾルゲンフライ直線の意義

冒頭で述べたとおり, ゾルゲンフライ直線は次の性質をもつ.

上記について補足する.

ハウスドルフ空間だが距離化可能でない

「距離空間ならばハウスドルフ空間である」という有名な定理がある(証明:距離空間はハウスドルフ空間である).
しかし, この定理の逆は一般には成り立たない.
その例がゾルゲンフライ直線である.

なお, ゾルゲンフライ直線は次の距離化問題に関わっている.

位相空間論の創成期に「ハウスドルフ空間はどんな条件のときに距離空間になるか?」という距離化問題が提起された.

その後, ウリゾーンによって「ウリゾーンの距離化定理」が証明され, 距離化問題が解決された, という歴史がある.

正規空間だが距離化可能でない

分離公理には下記の関係がある.

距離空間 $\Longrightarrow$ 正規 $\Longrightarrow$ 正則 $\Longrightarrow$ ハウスドルフ $\Longrightarrow$ $T_1$

しかし, 上記の矢印はどれも逆向きは成り立たない.
それぞれの反例は下記のとおり.

というわけで, ゾルゲンフライ直線は「分離公理に関する反例」にもなる.

第1可算公理を満たすが第2可算公理を満たさない

この性質を満たす位相空間はめったにない.
この点だけでもゾルゲンフライ直線はとても珍しい位相空間である.

【補足】ゾルゲンフライ直線は他分野で使わない

以上から, ゾルゲンフライ直線は珍しい性質をもつ貴重な位相空間であり, 位相空間論で重要である.

しかし, ゾルゲンフライ直線は位相空間論以外の分野では出てこない.
実際に解析,幾何,代数の教科書を見たらわかるとおり, どこにもゾルゲンフライ直線は出てこない.
なので, ゾルゲンフライ直線を知らなくても特に問題はない.

ただ, ゾルゲンフライ直線によって位相空間の反例を多く作れて位相空間論の理解を深めることができる.
その意味で, 勉強しておいてあまり無駄ではないと思う.