Takatani Note

補有限位相【性質と証明】

$ \def\U{\mathcal{U}} $

この記事では、下記を証明します。

上記の中で、重要なのは下記です。

上記について、いずれの性質も、それを満たす位相空間は非常に珍しいです。
詳しいことは記事の後半で説明します。

では、補有限位相の定義から始めます。

定義
$\R$ に次のような位相 $\O_C$ を入れる. \[ \O_C= \{U \sub \R \mid U=\emp \te{または} \R\sm U \te{は有限集合} \} \] $\O_C$ を $\R$ の 補有限位相 (cofinite topology) という.

※定義より, $(\R,\O_C)$ の閉集合は有限集合または $\R$ 自身に限る.

補有限位相の性質

$T_1$ 空間である

$T_1$ 空間とは下記のとおり.

定義
1点集合 $\{a\}$ が常に閉集合であるような位相空間のことを $T_1$ 空間であるという.

例えば, ハウスドルフ空間は $T_1$ 空間である.
それでは次を示そう.

定理
$(\R,\O_C)$ は$T_1$ 空間である.

[証明]
任意の $a\in \R$ に対して, その1点集合 $\{a\}$ はもちろん有限集合である.
したがって, $\{a\}$ の補集合は $\R$ の開集合である.
ゆえに $\{a\}$ は $\R$ の閉集合である.

ハウスドルフでない

定理
$(\R,\O_C)$ はハウスドルフでない.

[証明]
相異なる2点 $a, b\in \R$に対して, $a\not\in U$ かつ $b\in U$ を満たす開集合 $U$ を任意のとる.
$\R-U$ は有限集合なので, $U\cap V \neq \emp$ を満たす $V$ は有限集合である.
従って, $V$ が開集合ならば $V=\emp.$
よって, $a$ と $b$ を分離する開集合は取れない.

したがって $(\R,\O_C)$ は $T_1$ だがハウスドルフでない空間である.

第1可算公理を満たさない

定理
$(\R,\O_C)$ は第1可算公理を満たさない.

証明
証明
任意の $x\in \R_C$ をとる.
$x$ の可算な基本近傍系 $\U$ が存在すると仮定する.
$\U$ は可算なので, 次のように表せる.
\[ \U=\{U_n\in \O_C \mid n\in \N, \ x\in U_n\}.\] $A:=\ds\bigcap_{n\in \N}{U_n}$ とおく.
今から, $A\sm \{x\}$ は空集合でないことを示す.
ド・モルガンの法則より, \[ A^c=\ds\bigcup_{n\in\N}{U_n^{\ c}}. \] $U_n^{\ c}$ は有限集合なので, $A^c$ は可算集合である.
従って, $A^c\cup \{x\}$ も可算集合である.
ゆえに, $\R$ は非可算なので, \[ A^c\cup \{x\}\neq \R. \] よって, \[ A\sm \{x\}=\R\sm(A\sm\{x\})^c =\R\sm(A^c\cup \{x\}) \] は空でない.

次に, $y\in A-\{x\}$ をとる.
すると, 各 $n$ に対して, $y\in U_n.$
従って, $U_n \nsubseteq \R\sm\{y\}.$
ところが, $\O_C$ の定義より, $\R_C\sm\{y\}$ は $x$ の開近傍である.
基本近傍系の定義から, $U_n\subset \R_C\sm\{y\}$ を満たす $U_n\in \U$ があるはずなのにおかしい.
従って, 矛盾が得られた.

コンパクトである

定理
$(\R,\O_C)$ はコンパクトである.

[証明]
$\U$ を $\R$ の任意の開被覆とする.
$\U$ の中から空でない開集合 $U$ をとる.
$U$ の補集合 $\R\sm U$ は有限集合なので, \[ \R\sm U=\{x_1,\cd x_n\} \] と表せる.
各 $x_i$ に対して, $x_i\in U_i$ となる $U_i\in \U$ がとれる.
従って,
\[ \U^*=\{U,U_1,\cdots,U_n\} \sub \U \] とおけば, $\U^*$ は $\R$ の有限被覆である.
よって, $(\R,\O_C)$ はコンパクトである.

可分である

定理
$(\R,\O_C)$ は可分である.

[証明]
$(\R,\O_C)$ では, 無限集合かつ閉集合なのは $\R$ のみである.
従って, $\Q$ の閉包は $\R$ である.
よって, $(\R,\O_C)$ は可分である.

補有限位相の意義

冒頭で述べたとおり, 補有限位相が入った $\R$ は次の性質をもつ.

上記について補足する.

$T_1$ 空間だがハウスドルフでない

分離公理には下記の関係がある.

距離空間 $\Longrightarrow$ 正規 $\Longrightarrow$ 正則 $\Longrightarrow$ ハウスドルフ $\Longrightarrow$ $T_1$

しかし, 上記の矢印はどれも逆向きは成り立たない.
それぞれの反例は下記のとおり.

というわけで, 補有限位相は「分離公理に関する反例」にもなる.

第1可算公理を満たさない

たいていの位相空間は第1可算公理を満たす.
例えば、離散空間 $\R$ や密着空間 $\R$ のようなヘンテコな空間でさえも第1可算公理を満たす.

一方, 第1可算公理を満たさない位相空間は見つけるのが難しい.
その点, 補有限位相は第1可算公理を満たさない例を作れるので有用である.

補有限位相の意義

まとめると, 次の2点である.

終わりに...

補有限位相に似た位相としてザリスキ位相(Zariski topology)というのがある.
ザリスキ位相は可換環論や代数幾何学で出てくる.