直交行列の性質【証明】

$$ \newcommand{\tA}{{}^t \hspace{-1.5pt} A \hspace{1pt}} \newcommand{\tP}{{}^t \hspace{-1pt} P \hspace{1pt}} \newcommand{\e}{\bm{e}} $$

この記事では, 直交行列(orthogonal matrix)について次の性質を証明します。

直交行列の行列式は $1$ または $-1$
$A,B$ が直交行列 $\Rightarrow$ $AB, A^{-1}$ も直交行列
$A$ は直交行列 $\iff$ $A$ の列(行)ベクトル全体は正規直交基底
実対称行列は直交行列で対角化される

まず定義を確認しておきます。

定義
正方行列 $A$ が $$ \tA A=I $$ を満たすとき, $A$ を直交行列(orthogonal matrix)という.
(※$I$ は単位行列.)

※$\tA A=I$ ならば $A\tA=I$ である. $(\be A\tA=^t(\tA A)=^tI=I)$

例
次の行列は直交行列である. $$ \m{ \cos\t & -\sin\t \cr \sin\t & \cos\t }, \ \ \ \m{ 0 & -1 \cr 1 & 0 } $$

直交行列の性質

直交行列の行列式は $1$ または $-1$

定理
$A$ を直交行列とすると, $\det(A)=\pm 1$

[証明] $A$ は直交行列なので $\tA A=I$ である. このことと行列式の性質により, $$ \det(A)\det(A)=\det(A)\det(\tA) =\det(A\tA)=\det(I)=1. $$ $$ \th \det(A)=\pm 1. $$

$A,B$ が直交行列 $\Rightarrow$ $AB, A^{-1}$ も直交行列

定理
$A,B$ が直交行列ならば, 積 $AB$ も逆行列 $A^{-1}$ も直交行列である.

[証明] $A,B$ は直交行列なので, $\tA A=I,\ \ {}^tBB=I$ である. $$ {}^t(AB)(AB)=({}^tB\tA )(AB) ={}^tB(\tA A)B={}^tBB=I. $$ $$ {}^t (A^{-1})A^{-1}=(\tA)^{-1}A^{-1} =(A\tA)^{-1}=I^{-1}=I. $$ よって, 積 $AB$ も逆行列 $A^{-1}$ も直交行列である.

$A$ は直交行列 $\iff$ $A$ の列(行)ベクトル全体は正規直交基底

定理
$A$ を $n$ 次正方行列とするとき, 次の５つの条件は同値である.
ただし, $\R^n$ には標準的内積を考える.
(1) $A$ は直交行列である.
(2) $A$ の列ベクトル全体は $\R^n$ の正規直交基底である.
(3) $A$ の行ベクトル全体は $\R^n$ の正規直交基底である.
(4) $A:\R^n\to \R^n$ は計量を保つ.
(5) $A:\R^n\to \R^n$ は長さを保つ.

[証明] $$ A=(\a_1 \cd \a_n)=\m{ \a_1'\\ \cd \\ \a_n' } $$ をそれぞれ $A$ の列ベクトル表示, 行ベクトル表示とする.

(1) $\iff$ (2)
$A$ の列ベクトル表示で考えれば, $$\eq{ A \text{は直交行列} & \iff \tA A=I \\ & \iff {}^t\a_i\a_j=\delta_{ij} \ \ \ \ \ \ (1\leq i,j\leq n) \\ & \iff (\a_i,\a_j)=\delta_{ij} \ \ \ (1\leq i,j\leq n) \\ & \iff \a_1, \cd, \a_n \ \text{は} \ \R^n \ \text{の正規直交基底} }$$ (1) $\iff$ (3)
$A$ の行ベクトル表示で考えれば, $$\eq{ A \text{は直交行列} & \iff A \tA=I \\ & \iff \a_i'{}^t\a_j'=\delta_{ij} \ \ \ \ \ \ (1\leq i,j\leq n) \\ & \iff (\a_i',\a_j')=\delta_{ij} \ \ \ (1\leq i,j\leq n) \\ & \iff \a_1', \cd, \a_n' \ \text{は} \ \R^n \ \text{の正規直交基底} }$$ (2) $\iff$ (4)
$\a_1,\cd,\a_n$ が $\R^n$ の正規直交基底であるとき, $$\eq{ \x & =x_1\e_1+\cd +x_n\e_n, \\ \y & =y_1\e_1+\cd +y_n\e_n }$$ とすると, $A\e_i=\a_i\ (1\leq i\leq n)$ により, $$\eq{ (A\x,A\y) & =(x_1\e_1+\cd +x_n\e_n,y_1\e_1+\cd +y_n\e_n) \\ & =x_1y_1+\cd+x_ny_n \\ & =(\x,\y) }$$ よって, (4)が成り立つ.

逆に, $A:\R^n\to \R^n$ は計量を保つとすると,
$1\leq i,j \leq n$ で $$ (\a_i,\a_j)=(A\e_i,A\e_j) =(\e_i,\e_j)=\delta_{ij} $$ よって, $\a_1,\cd,\a_n$ は $\R^n$ の正規直交基底である.

(4) $\iff$ (5)
内積空間の性質から成り立つ.

実対称行列は直交行列で対角化される

定理
$n$ 次実正方行列 $A$ について, 次の２つの条件は同値である.
(1) $A$ は実対称行列である.
(2) $A$ は適当な直交行列 $P$ によって対角化できる： $$ P^{-1}AP= \m{ \l_1 & & O \cr & \ddots & \cr O & & \l_n } $$

[証明] 対称行列の性質参照.