第２可算公理と可分の関係【証明】

この記事では、下記を証明します。

• 第２可算公理を満たす位相空間は可分である.
• 可分な距離空間は第２可算公理を満たす.

上記の事実から次の定理が成り立ちます：
「距離空間では, 第２可算公理 $\iff$ 可分」
この定理は基本的なので覚えておいたほうがいいです。

証明の前に, 定義と記号をいくつか確認しておきます。

定義
$B(a; r)$ を中心 $a \in X,$ 半径 $r$ の開球体とする. すなわち, $$B(a;r):=\{ x\in X \mid d(x,a)< r\}$$ と定める.

定義
位相空間 $(X,\O)$ の $\B$ が $\O$ の開基であるとは, $\B \sub \O$ であって, 任意の $O\in \O$ と任意の $x\in O$ に対して $x\in B\sub O$ となるような $B\in \B$ が存在するときをいう.

定義
$(X,\O)$ を位相空間とする.
位相 $\O$ が高々可算個の開集合からなる開基をもつとき, $\O$ は第２可算公理を満たすという.

例
通常の位相をもつ $\R^n$ は第２可算公理を満たす.
実際, 次のような開球体の集合： $$ \B_n:=\{B(x;r)\mid x\in \Q^n,\ r\in \Q \} $$ は $\R^n$ における通常の位相の開基である.

定義
位相空間 $X$ が稠密な可算部分集合をもつとき, $X$ は可分 (separable) であるという.

例
通常の位相をもつ $\R$ は可分である.
実際, $\R$ は 稠密な可算部分集合 $\Q$ をもつ.
一方, 離散位相をもつ $\R$ は可分でない.
実際, $\ol{A}=\R$ になる $A$ は $\R$ のみであり, $\R$ は非可算集合である.

第２可算公理と可分の関係

第２可算公理 $\Rightarrow$ 可分

定理
$(X,\O)$ を位相空間とする.
$X$ が第２可算公理を満たすならば, $X$ は可分である.

▼ 証明

[証明]
$\B$ を $\O$ の可算な開基とする.
$\emp\in \B$ のときには, $\B$ から $\emp$ を取り除いた集合系も開基なので, はじめから $\emp \not\in \B$ と仮定しても一般性を失わない. このとき, $\B$ に属する各部分集合 $B$ からそれぞれ元 $x_B$ を１つだけとり, $X$ の部分集合 $$ M:=\{x_B \mid B\in \B\} $$ をつくる. また, $\B$ は可算なので, $M$ も可算である.

残るは $M$ が稠密であることを示すだけである.
仮に $M$ が稠密でないとする.
このとき, $\ol{M}\neq X$ であり, $X\sm\ol{M}$ は空でない開集合である.
したがって, $X\sm\ol{M}$ はある $B\in\B$ を含み, ゆえに $M$ の元 $x_B$ を含む. しかし, これは $x_B\not\in X\sm\ol{M}$ に矛盾している. よって, $M$ は稠密である.
以上から $X$ は可分な位相空間である.

距離空間では、可分 $\Rightarrow$ 第２可算公理

定理
$(X,d)$ を可分な距離空間とする.
このとき, $X$ は第２可算公理を満たす.

▼ 証明

[証明]
$\O$ を距離関数 $d$ によって定まる位相とする.
$M$ を $X$ の稠密な高々可算な集合とする.
$$ \B:=\{ B(a;r) \mid a\in M , r\in \Q, r>0 \} $$ とすると, $\B$ は高々可算である.

$\B$ が $\O$ の開基であることを示そう.
$O$ を $X$ の任意の空でない開集合とし, $a\in O$ とする. このとき, $a$ は $O$ の内点なので, $B(a;\e)\sub O$ となる $\e>0$ が存在する.
$\ol{M}=X$ であるから, 特に $a$ は触点なので, $B(a;\e/2) \cap M \neq \emp$ である. したがって, $a'\in B(a;\e/2)$ となる $a' \in M$ が存在する.
上式より $d(a,a')< \e/2$ であり, 有理数の稠密性から $d(a,a')< r< \e/2$ となる $r \in Q_{>0}$ が存在する. $\B$ の定義より $B(a';r)\in \B$ である.

あとは $a\in B(a';r)\sub O$ を示すだけである. $d(a,a')< r$ より $a\in B(a';r)$ である.
任意の $x\in B(a';r)$ をとると, $d(x,a')< r$ であるから, $$\eq{ d(x,a) & \leq d(x,a')+d(a'a) \\ & < r+ r=2r <\e. }$$ ゆえに, $d(x,a)<\e$ すなわち $x\in B(a;\e)$ である. したがって $B(a';r)\sub B(a;\e)$ が得られた. よって, $$ a\in B(a';r)\sub O. $$ であるから, $\B$ は $\O$ の開基である.

上記２つの定理より次を得る.

定理
距離空間では可分であることと第２可算公理を満たすことは同値である.

この定理の応用として, 「ゾルゲンフライ直線 はハウスドルフ空間だが距離化可能でない」という命題を示すときに使う.

【付録】第２可算公理を満たさない空間

例
離散空間 $\R$ は第２可算公理を満たさない.
実際, $\R$ における離散位相の開基は次の１つだけである.
$$ \B:=\{ \{x\} \mid x \in \R\}. $$ この $\B$ はもちろん非可算集合である.

例
ゾルゲンフライ直線は第２可算公理を満たさない.
(しかし, 第１可算公理は満たす.)