転置行列【性質と証明】

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この記事では、転置行列について次の性質を証明します。

• 転置行列の積
  ${}^t(AB)={}^tB\ {}^tA$
• 逆行列
  ${}^t(A^{-1})=({}^tA)^{-1}$
• 行列式
  $\det(A)=\det({}^tA)$

証明の前に、転置行列の定義を確認しておきます。

定義
$m\times n$ 行列
$$ A= \m{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \ddots & \vdots \cr a_{m1} & \cdots & a_{mn} } $$ の転置行列 ${}^t A$ とは
$$ {}^tA= \m{ a_{11} & \cdots & a_{m1} \cr \vdots & \ddots & \vdots \cr a_{1n} & \cdots & a_{mn} } $$ で定義される $n\times m$ 行列のことである.

つまり, 行列 $A$ の転置行列とは, $A$ の $(i, j)$ 成分と $(j, i)$ 成分を入れ替えてできる行列のことです。

例
$A= \m{ 1 & 2 \cr 3 & 4 }$ ならば ${}^tA= \m{ 1 & 3 \cr 2 & 4 }.$

例
$A= \m{ 1 & 2 & 3 \cr 4 & 5 & 6 }$ ならば ${}^tA= \m{ 1 & 4 \cr 2 & 5 \cr 3 & 6 }.$

転置行列の性質

転置行列の積

定理Ｘ
$A$ を $l\times m$ 行列, $B$ を $m\times n$ 行列とする. このとき, $$ {}^t(AB)={}^tB\ {}^tA.$$

[証明]  ${}^t(AB)$ の $(i,j)$ 成分は, ($AB$ の $(j,i)$ 成分に等しいので,) $$ \sum_{k=1}^ma_{jk}b_{ki} $$ である.
一方, ${}^tB\ {}^tA$ の $(i,j)$ 成分は
$$ \sum_{k=1}^mb_{ki}a_{jk} $$ である.
従って, 両者の $(i,j)$ 成分が一致するので, $$ {}^t(AB)={}^tB\ {}^tA. $$

この定理を使えば, ３つの行列の積の転置が簡単に求まる.

系
$A$ を $l\times m$ 行列, $B$ を $m\times n$ 行列, $C$ を $n\times p$ 行列とする. このとき,
$$ {}^t(ABC)={}^tC\ {}^tB\ {}^tA. $$

[証明]  定理Ｘより, $$ {}^t(ABC)={}^t((AB)C) ={}^tC\ {}^t(AB)={}^tC\ {}^tB\ {}^tA.$$

逆行列

定理
$A$ を $n$ 次の正則行列とすると, $$ {}^t(A^{-1})=({}^tA)^{-1}. $$

[証明]  定理Ｘより, $$ {}^tA\ {}^t(A^{-1})={}^t(A^{-1}A)={}^tI=I $$ である. ゆえに ${}^tA\ {}^t(A^{-1})=I$ の両辺に $({}^tA)^{-1}$ を左からかけると $$ ^t(A^{-1})=({}^tA)^{-1}. $$

転置行列の行列式

定理
任意の正方行列 $A$ に対して, $$ \det({}^tA)=\det(A) $$

[証明]  行列式の性質参照.