転置行列【性質と証明】
この記事では、転置行列について次の性質を証明します。
- 転置行列の積
${}^t(AB)={}^tB\ {}^tA$ - 逆行列
${}^t(A^{-1})=({}^tA)^{-1}$ - 行列式
$\det(A)=\det({}^tA)$
証明の前に、転置行列の定義を確認しておきます。
定義
$m\times n$ 行列
\[ A=
\m{ a_{11} & \cdots & a_{1n}
\cr \vdots & \ddots & \vdots
\cr a_{m1} & \cdots & a_{mn} }
\]
の転置行列 ${}^t A$ とは
\[ {}^tA=
\m{ a_{11} & \cdots & a_{m1}
\cr \vdots & \ddots & \vdots
\cr a_{1n} & \cdots & a_{mn} }
\]
で定義される $n\times m$ 行列のことである.
つまり, 行列 $A$ の転置行列とは, $A$ の $(i, j)$ 成分と $(j, i)$ 成分を入れ替えてできる行列のことです。
例
$A=
\m{ 1 & 2
\cr 3 & 4 }$
ならば
${}^tA=
\m{ 1 & 3
\cr 2 & 4 }.$
例
$A=
\m{ 1 & 2 & 3
\cr 4 & 5 & 6 }$
ならば
${}^tA=
\m{ 1 & 4
\cr 2 & 5
\cr 3 & 6 }.$
転置行列の性質
転置行列の積
定理Ｘ
$A$ を $l\times m$ 行列,
$B$ を $m\times n$ 行列とする. このとき,
\[ {}^t(AB)={}^tB\ {}^tA.\]
[証明]
${}^t(AB)$ の $(i,j)$ 成分は, ($AB$ の $(j,i)$ 成分に等しいので,)
\[ \sum_{k=1}^ma_{jk}b_{ki} \]
である.
一方, ${}^tB\ {}^tA$ の $(i,j)$ 成分は
\[ \sum_{k=1}^mb_{ki}a_{jk} \]
である.
従って, 両者の $(i,j)$ 成分が一致するので,
\[ {}^t(AB)={}^tB\ {}^tA. \]
この定理を使えば, ３つの行列の積の転置が簡単に求まる.
系
$A$ を $l\times m$ 行列, $B$ を $m\times n$ 行列,
$C$ を $n\times p$ 行列とする. このとき,
\[ {}^t(ABC)={}^tC\ {}^tB\ {}^tA. \]
[証明]
定理Ｘより,
\[ {}^t(ABC)={}^t((AB)C)
={}^tC\ {}^t(AB)={}^tC\ {}^tB\ {}^tA.\]
逆行列
定理
$A$ を $n$ 次の正則行列とすると,
\[ {}^t(A^{-1})=({}^tA)^{-1}. \]
[証明]
定理Ｘより,
\[ {}^tA\ {}^t(A^{-1})={}^t(A^{-1}A)={}^tI=I \]
である. ゆえに ${}^tA\ {}^t(A^{-1})=I$
の両辺に $({}^tA)^{-1}$ を左からかけると
\[ ^t(A^{-1})=({}^tA)^{-1}. \]
転置行列の行列式
定理
任意の正方行列 $A$ に対して,
\[ \det(\tp A)=\det(A) \]
[証明]
$A=(a_{ij})$ とする. 行列式の定義から
\[ \det A=\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s)
a_{1\s(1)}a_{2\s(2)}\cdots a_{n\s(n)} \]
である.
$\s(1),\s(2),\cdots,\s(n)$ は $1,2,\cdots,n$ の順列であって,
$\s(i)=j$ とおけば $i=\s^{-1}(j).$
したがって $a_{i\s(i)}=a_{\s^{-1}(j)j}$ であるから,
因数の順序を並べ替えることによって,
\[ a_{1\s(1)}\cdots a_{n\s(n)}
=a_{\s^{-1}(1)1}\cdots a_{\s^{-1}(n)n}\]
と書き換えられる.
そして, $\sgn(\s)=\sgn(\s^{-1})$ であるから,
\[\det A=\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s^{-1})
a_{\s^{-1}(1)1}\cdots a_{\s^{-1}(n)n} \]
さらに $\s$ が $S_n$ 全体を動けば, $\s^{-1}$ も
$S_n$ 全体を動くので, 上の和を
\[ \det A=\sum_{\s\in S_n}\sgn(\s)
a_{\s(1)1}\cdots a_{\s(n)n} \tag{*}\]
と書き直せる.
ここで, 転置行列 ${}^tA$ の $(i,j)$ 成分を
$b_{ij}$ とすれば, $b_{ij}=a_{ji}$ であるから, $(*)$ の右辺は
\[ \sum_{\s\in S_n}\sgn(\s)
b_{1\s(1)}\cdots b_{n\s(n)}\]
と表される. これは $\det({}^tA)$ に等しい.
これが示したいことであった.
行列式の定義や性質などは行列式の性質を参照せよ.