【感想】数学で何が重要か / 志村五郎
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「何が重要で、何が重要でないか？」
数学ではそれを見極められるセンスが大事です。
そのセンスがなければ、要領の悪い勉強をしてしまったり、良い問題を見つけられず論文が書けないからです。
本書ではタイトルのとおり、超一流の数学者である志村先生が、数学で何が重要かについて語っています。
数学科の学生にとって有益なことが書いていたので読書メモとして残しておきます。
ペアノの公理は学ばなくてよい
第２章「実数論は教える必要があるか」で、志村先生は次のように語っています。
自然数をPeanoの公理で定義して自然数の和、積の算法ができることを説明し、それから整数環 $\Z$ を構成し、それから有理数体 $\Q$ を構成し、それから実数体 $\R$ を構成するというのを詳しく説明した本が何種類もある。
------中略-------
そういう本は現在では実は不必要なのであって、その代りに別の本を読んだ方がよいのである。
この後、ペアノの公理も実数論も学ばなくてよい理由を説得力のある言葉で説明しています。
その理由を簡単にまとめると下記のとおり。
・代数の教科書→ $\Z$ を既知として出発する
・解析の教科書→実数の連続性の公理「有界単調数列は収束する」を受け入れて、そこから出発する。
私もこの意見に賛成です。
実は、数学科の学生はペアノの公理を使う機会がありません。
論理学や数学基礎論ではもしかしたら使うかもですが、数学科はそれらを学ばないので、問題ないです。
なお、私の経験からいって、実数論には深入りはしないほうがいいです。
私は、大学１年のときデデキント切断など、実数の連続性について詳しく勉強したのですが、それらは今、全く役に立っていません。
だいぶ後に知ったのですが、デデキント切断によって、初めて実数を厳密に定義できたらしく、その意味で実数論や集合論の歴史において重要です。
しかし、それは別に必須ではありません。
実数論を勉強する時間があるなら、線形代数や複素解析などをやっておけばよかったなと思います。
ところで、「ペアノの公理は学ぶ必要がない」みたいに「これは学ぶ必要がない」とアドバイスしてくれる本はとてもありがたいと思います。
新しい分野を学ぶとき、その分野でいろんな概念が出てくる中で何が重要であるかを見極めることは至難の業です。
見極めに失敗して、どうでもいい概念を深く掘り下げてしまい、時間を無駄にする、ということはよくあります。
でも、本書のように「学ばなくてもいい概念」を挙げてくれればそんな徒労も減ります。
ただ、現実には本書のような本はめったにありません。
「もっと増えたらいいのに！」と常々思います。
高校生には数学科でやるような授業はするな
高校の先生が大学の数学科向けの厳密で難しい教科書を使って教えるというのもあるらしい。
そういう非常識の場合の数は少ないとは思われるがもしあったらやめてほしいという意味でここに注意しておく。
私が思うに、数学科の証明中心の授業って、数学科でしか成立しません。
数学が好きで、証明も好きな数学科なら、あの厳密な論理を積み重ねていく授業に耐えられますが、高校生では嫌気がさして、誰も授業を聞かなくなるからです。
「数学科の講義形式が正統な数学の勉強法だ！」と思い込み、
高校の教育実習で証明重視の授業にしてしまう数学科の学生がいるようですが、
それは絶対やめたほうがいいと思います。
ほとんどの高校生にとって、そのやり方は苦痛のはずです。
集合と位相は必要になったときに学べばよい
「集合と位相」という主題で、大学の講義があったり、そういう本がいくつもあることについて、志村先生はこう述べている。
それが私にはわからない。
そんな主題で一学期を念入りに教えられたらうんざりするのではないか。
集合や写像の概念とか記号 $\in,\cup,\cap$ などは高校でやっているのだからそれを復習して、あとは可附番とそうでない集合について説明するのは簡単であり、それ以上に濃度など教えることは不必要である。
---中略---
集合の濃度などという概念はめったに必要にならない。
必要になった時に説明すればよい。
Zornのlemmaも同様である。何でもあとで出て来そうな物は前もって全部順序正しくきっちりと教えておこうという考え方はこの場合には間違いである。
おっしゃるとおりですね。
集合論では全射、単射、同値関係、同値類、商集合、可算集合、非可算集合がわかればよく、濃度は重要でないです。
ツォルンの補題はたまに使いますが、証明を読んでおく必要もありません。
上記のことをいうと、数学基礎論とか論理学の専門家に怒られそうですが、
数学科にとって事実ですから。
集合論は必要になったときに勉強すればいいです。
線型代数のように勉強していなかったら苦労する、ということはないです。
ギリシャの作図問題は学ぶ価値なし
ガロア理論の入門書に、ガロア理論の応用として、正17角形や角の３等分などの作図問題が論じられているものがあり、志村先生は驚いたようです。
いまだに作図問題を気にしている著者があり、教える価値があると思っているのか。 そんな紙面があれば、もっと役に立つことを書くべきである。
昔の人が重要だと思っていたにしても今ではそうではないのである。
作図問題は歴史的に有名な問題でしたが、
現代では、それを勉強しても他の分野に応用できそうにないです。
もちろん興味があるなら勉強すればいいと思います。
ただ、今の数学では最先端に行くためにはたくさん勉強することがあるので、寄り道している余裕がありません。
なので、こういう将来役に立ちそうにないものは本から削除をするか、もしくは本の最後に付録として載せ、これは読まなくてもよいことを読者に伝えておくべきだと思います。
簡単かつ非自明な例が重要
ガロア拡大の簡単な例として２次拡大：
$\ \ \Gal(\Q(\a)/\Q)\cong \Z/2\Z$
が説明されている。この後、
さて読者が「そんな２次の場合はつまらない、もっと方程式の次数 $m$ が大きくて複雑な場合が知りたい」と言ったらそれはもっともである。
実際Galoisの理論はそういう複雑で一般の場合を整理するために作られたのであるから。
しかしそれができてしまった現在、複雑な場合が重要であると考えてはならない。
むしろ２次の場合が重要で基本的であることを忘れてはならない。
そして次の重要なことを話しています。
一般にどんな数学の分野でも複雑で難しいものが重要なのではなく、もっと手近にあって簡単に見えるものが重要である場合が多い。
そして簡単に見えるものが案外難しいのである。
これは数学科のすべての学生が覚えておくべき重要な内容です。
なお、志村先生はその後、その簡単だが重要な例として、
アーベル多様体 $\C^n/L$ について述べています。
これは位相空間としては簡単な例ですが、数論や代数幾何において極めて重要な対象です。
アーベル多様体は簡単そうに見えて、実はとても重要な例なんです。
おわりに
本書の後半では代数的整数論について重要なポイントを解説しています。
整数論に興味がある人は読んでおく価値のあると思います。
本書では、数学の重要なコツよりも、学ぶ必要のない、役立たない内容について多く言及しているのが目立ちました。
おそらく志村先生は学生時代、研究に役立たない数学を多く学んでしまい、
無駄な時間を過ごし、そのことに強い不満があるのだろうと感じました。
私自身も、いろんな分野の数学を勉強してきましたが、数学の最先端にいくまでずいぶん遠回りをしました。
しかも、その遠回りは完全に無駄だったので、徒労感は半端ないです。
たとえば、実数論とかを１年生のときに勉強したり、
リーマン積分やルベーグ積分について厳密な理解をがんばってしていましたが、
私の専攻分野である代数幾何学では積分すら全然出てこなかったので損した気分です。
なお、このTakatani Noteは
「他の人にこのような無駄をさせたくない！」
という思いからサイトを立ち上げました。
本書のように、数学で何が重要かについての記事を書いていきます。
さて、本書には上で紹介したもの以外にも数学のコツが解説してあります。
数学科の学生、特に数論に興味がある人はぜひ読んでみてください。