テイラーの定理と剰余項【証明】
この記事では、テイラーの定理と剰余項について解説します。
テイラーの定理と剰余項
テイラーの定理とは平均値定理を次のように拡張した定理である.
テイラーの定理
関数 $f(x)$ が $[a,b]$ で $n$ 回微分可能とするとき,
$$\eq{
f(b) & =f(a)+\f{f'(a)}{1!}(b-a)
+\f{f''(a)}{2!}(b-a)^2
\\ & \ \ \ \ \ +\cd
+\f{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1}+R_n
}$$
とおくと,
$$ R_n=\f{f^{(n)}(c)}{n!}(b-a)^n\ \ \ (a< c< b) $$
を満たす $c$ が存在する. この $R_n$
をラグランジュの剰余項と呼ぶ.
- ▼ 証明
-
[証明]
$$ \v(x)=f(x)+\sum_{k=1}^{n-1} \f{f^{(k)}(x)}{k!}(b-x)^k+ R_n\c \f{(b-x)^n}{(b-a)^n} \tag{*1}$$ とおくと, $$ \v(a)=\v(b)=f(b). $$ ロルの定理から, $\v'(c)=0$ を満たす $c\ (a< c< b)$ が存在する. 積の微分公式 $(fg)'=f'g+g'f$ を用いると, $$\eq{ \v'(x) & =f'(x)+\sum_{k=1}^{n-1}\le( \f{f^{(k+1)}(x)}{k!}(b-x)^k -\f{f^{(k)}(x)}{(k-1)!}(b-x)^{k-1} \ri) - R_n\c \f{n(b-x)^{n-1}}{(b-a)^n} \\ & =f'(x)+\le( \f{f^{(n)}(x)}{(n-1)!}(b-x)^{n-1} -f'(x) \ri)- R_n\c \f{n(b-x)^{n-1}}{(b-a)^n}. }$$ 上式に $x=c$ を代入すると, $$ \f{f^{(n)}(c)}{(n-1)!}(b-c)^{n-1} =R_n\c \f{n(b-c)^{n-1}}{(b-a)^n}. \tag{*2}$$ $$ \th R_n=\f{f^{(n)}(c)}{n!}(b-a)^n. $$
[補足]
$a_k=\f{f^{(k)}(x)}{(k-1)!}(b-x)^{k-1}$ とおくと, $\sum$ の部分は $$ \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=a_n-a_1. $$
定理の証明で出てきた $\v(x)$ の定義式 $(*1)$ において, 最後の項を $R_n\c\f{b-x}{b-a}$ に置き換えても, $\v(a)=\v(b)=f(b)$ を満たす. よって, この場合も $\v'(c)=0$ を満たす $c\ (a< c< b)$ が存在して, $(*2)$ の部分が, $$ \f{f^{(n)}(c)}{(n-1)!}(b-c)^{n-1} =R_n\c \f{1}{b-a}. $$ したがって, 次のコーシーの剰余項を得る.
$$ R_n=f^{(n)}(c)\f{(b-c)^{n-1}(b-a)}{(n-1)!} $$
$c$ が $a$ と $b$ の間にあるということは,
$c=a+\t(b-a)\ (0<\t< 1)$ と書き表されることである.
それでは, テイラー展開を述べる.
定理 (テイラー展開)
関数 $f(x)$ が $x=a$ を内部に含む開区間で $C^\iy$ 級とすると, 各 $n\in \N$ に対して次の式が成り立つ.
$$\eq{
f(x) & =f(a)+f'(a)(x-a)+\f{f''(a)}{2!}(x-a)^2
\\ & \ \ \ \ \ + \cd
+\f{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+R_n.
}$$
従って, $R_n\to 0\ (n\to \iy)$ であれば,
$$\eq{
f(x) & =f(a)+f'(a)(x-a)+\f{f''(a)}{2!}(x-a)^2
\\ & \ \ \ \ \ + \cd
+\f{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cd \tag{*}
}$$
となる. ただし, $R_n$ はラグランジュの剰余項：
$$ R_n=\f{(x-a)^n}{n!}
f^{(n)}(a+\t(x-a))\ \ \ (0< \t< 1) $$
あるいは, コーシーの剰余項：
$$ R_n=\f{(1-\t)^{n-1}(x-a)^n}{(n-1)!}
f^{(n)}(a+\t(x-a))\ \ \ (0< \t< 1) $$
という形である.
定理の $(*)$ の右辺を $f(x)$ の $x=a$
におけるテイラー展開(Taylor series)と呼ぶ.
特に $a=0$ のときのテイラー展開をマクローリン展開という.
定理 (マクローリン展開)
関数 $f(x)$ が $x=0$ を内部に含む開区間で $C^\iy$ 級とすると, 各 $n\in \N$ に対して次の式が成り立つ.
$$ f(x) =f(0)+f'(0)x+\f{f''(0)}{2!}x^2
+ \cd +\f{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}x^{n-1}+R_n. $$
従って, $R_n\to 0\ (n\to \iy)$ であれば,
$$ f(x) =f(0)+f'(0)x+\f{f''(0)}{2!}x^2
+ \cd +\f{f^{(n)}(a)}{n!}x^n+\cd $$
となる. ただし, $R_n$ はラグランジュの剰余項：
$$ R_n=\f{x^n}{n!}
f^{(n)}(\t x)\ \ \ (0< \t< 1) $$
あるいは, コーシーの剰余項：
$$ R_n=\f{(1-\t)^{n-1}x^n}{(n-1)!}f^{(n)}(\t x)
\ \ \ (0< \t< 1) $$
という形である.
マクローリン展開の例
例
$$\eq{
& e^x=1+x+\f{x^2}{2!}+\cd
+\f{x^n}{n!}+\cd & (|x|<\iy)
\\ & \sin x=x-\f{x^3}{3!}+\f{x^5}{5!}-\cd
+(-1)^n\f{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cd \ & (|x|<\iy)
\\ & \cos x=1-\f{x^2}{2!}+\f{x^4}{4!}-\cd
+(-1)^n\f{x^{2n}}{(2n)!}+\cd\ \ & (|x|<\iy)
\\ & \log(1+x)=x-\f{x^2}{2}+\f{x^3}{3}-\cd
+(-1)^{n-1}\f{x^n}{n}+\cd\ & (|x|< 1)
}$$
[証明]
マクローリン展開【証明】を参照してください.
【付録】積分形の剰余項
定理
$$ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\int_a^x f''(t)(x-t)dt $$
- ▼ 証明
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[証明]
部分積分： $$ \int f'(t)dt=f'(t)(t-x)-\int f''(t)(t-x)dt $$ が成り立つことから, $$\eq{ f(x)-f(a) & =\int_a^x f'(t)dt \\ & =\Big[ f'(t)(t-x) \Big]_a^x -\int_a^x f''(t)(t-x)dt \\ & =f'(a)(x-a)+\int_a^x f''(t)(x-t)dt }$$ よって, 定理の主張が成り立つ.
定理
$$ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
+\cd +\f{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +R_n $$
という形に展開できる. ただし,
$$ R_n=\int_a^x \f{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt $$
- ▼ 証明
-
[証明]
数学的帰納法で示す. $n=1$ のときは前定理より成り立つ.
$R_n$ を($x$ でなく $t$ に関して)部分積分をすると, $$\eq{ R_n & =\Big[ -\f{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!} (x-t)^{n+1} \Big]_a^x +\int_a^x \f{f^{(n+2)}(t)}{(n+1)!}(x-t)^{n+1}dt \\ & =\f{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}+R_{n+1}. }$$ よって, 定理の主張が成り立つ.