Takatani Note

ハウスドルフ空間でない例

この記事では、ハウスドルフでない位相空間について次の3例を紹介します。

上記を述べた後、ついでに下記も話します。

なぜ距離空間より一般的な位相空間を考えるのか?

まず、ハウスドルフ空間の「定義」を確認しておきます。

定義
位相空間 $X$ が次の条件を満たすとき, $X$ はハウスドルフ (Hausdorff)であるという:
任意の相異なる2点 $p, q\in X$ に対して, ある $p$ の開近傍 $U$ と ある $q$ の開近傍 $V$ が存在して, $U\cap V = \emp$ が成り立つ.

※上記の $U,V$ を $p,q$ を分離する開集合と表現されることがあります。

ハウスドルフ空間でない例

密着空間


密着位相が入った $\R$ はハウスドルフ空間でない.

[証明]
密着空間 $\R$ には開集合が $\R$ と $\emp$ しかない.
従って, 例えば点0と点1を分離する開集合は存在しない.

※一般に, 2点以上の密着空間は常にハウスドルフでない.

上記の例は自明すぎてつまらないと感じる人が多いと思う.
しかし, 次の2つは人工的かつヘンテコでおもしろい.

補有限位相


$\R$ に次のような位相 $\O_C$ を入れる.
$\O_C= \{U\subset \R \mid \R\sm U$ は有限集合 $\}\cup \{\emp\}.$
このとき, 位相空間 $(\R,\O_C)$ はハウスドルフでない.

[証明]
2つの点 $0, 1\in \R$に対して, 1を含まない0の開近傍 $U$ を任意にとる.
$\R\sm U$ は有限集合なので, $U\cap V \neq \emp$ を満たす $V$ は有限集合である.

ところが, その場合だと $V$ は開集合でない.
ゆえに $U\cap V \neq \emp$ を満たす1の開近傍は存在しない.
よって $(\R,\O_C)$ はハウスドルフでない.

※位相 $\O_C$ を $\R$ の 補有限位相 (cofinite topology) という. なお, 補有限位相を表す記号は標準的なものはなく, $\O_C$ はその場限りの記号である.

したがって $(\R,\O_C)$ はハウスドルフでない.
さらに, この空間は「第1可算公理を満たさない空間」である.
たいていの位相空間は第1可算公理を満たすので, その意味で補有限位相はとてもヘンテコな位相だ.

補有限位相は位相空間論以外の分野では全く出てこない.
ただ, 代数幾何学で「ザリスキ位相」という, その分野で重要な位相を学ぶが, それは補有限位相に似ている.

補有限位相の詳細は補有限位相を見てほしい.

$\R$ の商空間


$\R$ に対して, 次の同値関係 $\sim$ を入れる.
実数 $a,b$ に対して, $a-b\in \Q$ のとき, $a\sim b.$
このとき, 商空間 $\R/\!\sim$ はハウスドルフでない.

[証明]
$\R/\!\sim$ はハウスドルフであると仮定する.
ハウスドルフの性質より, 1点集合は閉集合である.
従って, $\{\ol{0}\}$ は $\R/\!\sim$ の閉集合である.
自然な全射 $p:\R\to \R/\!\sim$ は商写像なので連続である.
ゆえに, $p^{-1}(\{\ol{0}\})=\Q$ は $\R$ の閉集合である.
ところが, $\Q$ は $\R$ の閉集合でないので矛盾する.

この例から重要なことがわかる.

次はそれについて説明する.

距離空間より一般的な位相空間を考える理由は商空間を定義するため

「なぜ距離空間より一般的な位相空間を考えるのか?」
と疑問に思う人は多い.

理由はいくつかあるが, その1つに
「商空間を定義するため」
という理由がある.

どういうことか今から説明しよう.

さっきの例で, $\R$ を同値関係
$\ \ \ a\sim b \iff a-b\in \Q$
で割った商空間 $\R$ はハウスドルフでないことがわかった.

$\R$ にはユークリッド距離が入っているので $\R$ は距離空間である.

また, 基本的な事実として,
「距離空間はハウスドルフである」
ことが成り立つ.
(※証明は距離空間ならばハウスドルフであるを参照)

したがって, 次のことがわかる.

距離空間を同値関係で割った商集合は 距離空間にならないどころかハウスドルフ空間にさえならないことがある.

このことから, 距離空間だけを考えていたら商空間が定義できない.

だが, 位相幾何学やリー群などの幾何学では商空間を考えることが何度もある.
幾何学では距離空間だけでは不十分だ.
もっと広い範囲で考えなければならない.
そこで, 位相空間まで考えると商空間をうまく定義できる.

というわけで, 位相空間まで考えなければならない.

これが距離空間より一般的な位相空間を考える理由の1つである.