Takatani Note

【LaTeX】極限 (lim)

極限、上極限、下極限などのコマンドを紹介します。

極限のコマンド集

表示コマンド意味
$\lim$\lim極限
$\varlimsup$\varlimsup上極限
$\limsup$\limsup
$\varliminf$\varliminf下極限
$\liminf$\liminf
$\varprojlim$\varprojlim射影極限
$\projlim$\projlim
$\varinjlim$\varinjlim帰納極限
$\injlim$\injlim

下記のコマンドは極限でよく使われる記号です。

出力コマンド意味       出力コマンド意味
$\sup$\sup上限 $\inf$\inf下限
$\max$\max最大 $\min$\min最小
$\to$\to矢印 $\infty$\infty無限大

以下、\limコマンドについて詳しく解説します。

極限 (lim)

ディスプレイスタイルとテキストスタイルの違い

$\lim$ の下に $n\to \infty$ を添えるには下記のように出力します。

表示コマンド備考
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}$ \lim_{n \to \infty} ディスプレイスタイル
$\lim_{n \to \infty}$ \lim_{n \to \infty} テキストスタイル

上記のとおり、$n\to \infty$ の位置がディスプレイスタイル(数式)とテキストスタイル(文中)では違うことに注意してください。

\displaystyleと\textstyle

文中でも $\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n$ のようにディスプレイスタイルで表示させたければ\displaystyleを使います。

表示コマンド
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ \displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n

逆に、数式環境で $\lim_{n \to \infty}a_n$ のようにテキストスタイルで表示させたければ\textstyleを用います。

表示コマンド
$\textstyle\lim_{n \to \infty} a_n$ \textstyle\lim_{n \to \infty} a_n

上極限(limit superior)

上極限を出力するには\limsupか\varlimsupを使います。

表示コマンド
$\displaystyle\varlimsup_{n \to \infty} a_n$ \varlimsup_{n \to \infty} a_n
$\displaystyle\limsup_{n \to \infty} a_n$ \limsup_{n \to \infty} a_n

下極限 (limit inferior)

下極限を出力するには\liminfか\varliminfを使います。

表示コマンド
$\displaystyle\varliminf_{n \to \infty} a_n$ \varliminf_{n \to \infty} a_n
$\displaystyle\liminf_{n \to \infty} a_n$ \liminf_{n \to \infty} a_n

limの下に2行の記号を入れる方法

極限limの下に複数行にわたる記号を挿入する場合, \substackを使います。

表示コマンド
$A \substack{ \to \\ \to} B$
A \substack{ \to \\  \to} B
$$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y)$$
\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y)

矢印について詳しいことは下記を参照してください:
【LaTeX】矢印