閉集合であることを簡単に示す裏ワザ

この記事では, 閉集合であることを簡単に示す裏技テクニックを紹介します。
証明には次の連続写像の性質を使います。

定理
$f:X\to Y$ が連続写像であることは次と同値である.
$Y$ の任意の閉集合 $F$ に対して, その逆像 $f^{-1}(F)$ は $X$ の閉集合である.

問題
球面 $S^2$ は $\R^3$ の閉集合であることを示せ.
※$S^2=\{(x,y,z)\in \R^3\mid $ $x^2+y^2+z^2=1\}$

▼ 解答

[解答]
$f:\R^3 \to \R,$
$(x,y,z) \mapsto$ $x^2+y^2+z^2-1$
とすると, $f$ は連続写像である.
$\{0\}$ は $\R$ の閉集合なので, その逆像 $f^{-1}(\{0\})=S^2$ は $\R^3$ の閉集合である.

このように多項式で表される位相空間の場合, 簡単に閉集合であることが示せる.
さらに, このテクニックは多項式だけでなく次のように行列の集合に対しても使える.

問題
$\SL_n(\R)$ は $M_n(\R)$ の閉集合であることを示せ.
ただし, $M_n(\R)$ は $n$ 次実正方行列全体,
$\SL_n(\R)=\{A\in M_n(\R)\mid $ $\det A=1\}$
とする.

▼ 解答

[解答]
$f:M_n(\R)\to \R,\ $ $A\mapsto \det A$
とすると, $f$ は連続写像である.
なぜなら, $\det A$ は展開すると多項式だからである.
$\{1\}$ は $\R$ の閉集合なので, その逆像 $f^{-1}(\{1\})$ $=\SL_n(\R)$ は $M_n(\R)$ の閉集合である.

閉集合だけでなく開集合を示す場合も使える.

問題
$\GL_n(\R)$ は $M_n(\R)$ の開集合であることを示せ.
※$\GL_n(\R)=\{A\in M_n(\R) \mid $ $\det A\neq 0\}.$

▼ 解答

[解答]
$f:M_n(\R)\to \R,\ $ $A\mapsto \det A$
とすると, $f$ は連続写像である.
なぜなら, $\det A$ は展開すると多項式だからである.
$\R\sm\{0\}$ は $\R$ の開集合なので, その逆像 $f^{-1}(\R\sm\{0\})=\GL_n(\R)$ は $M_n(\R)$ の開集合である.

発展問題

連続写像の次の性質を使えば, 閉集合であることを簡単に示せることがある.

定理
$f:X\to Y$ は連続写像である.
$\iff$ $Y$ の任意の閉集合 $F$ に対して, その逆像 $f^{-1}(F)$ は $X$ の閉集合である.

問題
球面 $S^2$ は $\R^3$ の閉集合であることを示せ.
※$S^2=\{(x,y,z)\in \R^3\mid $ $x^2+y^2+z^2=1\}$

▼ 解答

[解答]
$f:\R^3 \to \R,$
$(x,y,z) \mapsto$ $x^2+y^2+z^2-1$
とすると, $f$ は連続写像である.
$\{0\}$ は $\R$ の閉集合なので, 逆像 $f^{-1}(\{0\})=S^2$ は $\R^3$ の閉集合である. $\square$

問題
$\SL_n(\R)$ は $M_n(\R)$ の閉集合であることを示せ.
ただし, $M_n(\R)$ は $n$ 次実正方行列全体,
$\SL_n(\R)=\{A\in M_n(\R)\mid $ $\det A=1\}$
とする.

▼ 解答

[解答]
$f:M_n(\R)\to \R,\ $ $A\mapsto \det A$
とすると, $f$ は連続写像である.
なぜなら, $\det A$ は展開すると多項式だからである.
$\{1\}$ は $\R$ の閉集合なので, その逆像 $f^{-1}(\{1\})$ $=\SL_n(\R)$ は $M_n(\R)$ の閉集合である.$\square$

問題
$\GL_n(\R)$ は $M_n(\R)$ の開集合であることを示せ.
※$\GL_n(\R)=\{A\in M_n(\R) \mid $ $\det A\neq 0\}.$

▼ 解答

[解答]
$f:M_n(\R)\to \R,\ $ $A\mapsto \det A$
とすると, $f$ は連続写像である.
なぜなら, $\det A$ は展開すると多項式だからである.
$\R\sm\{0\}$ は $\R$ の開集合なので, その逆像 $f^{-1}(\R\sm\{0\})=\GL_n(\R)$ は $M_n(\R)$ の開集合である. $\square$