Takatani Note

一意分解整域(UFD)【証明】

この記事では, 一意分解整域(UFD)について下記のことを説明します。

まずは, 一意分解整域の定義と例から始めます。

定義
整域 $R$ の０でも単元でもない元 $a$ が有限個の素元の積： \[a=p_1p_2\cdots p_n\] という形に常に書けるとき, $R$ を一意分解整域(unique factorization domain)という. 略してUFDと呼ぶこともある.

素元と既約元の定義は下記のとおり.

定義
・整域 $R$ の０でない元 $x$ に対して, $(x)$ が素イデアルになるとき, $x$ を $R$ の素元という.

・整域 $R$ の単元でない元 $a(\neq 0)$ に対して, $a=bc(b,c\in R)$ ならば, $b$ または $c$ が単元になるとき, $a$ を $R$ の既約元という.

一意分解整域の「一意」が付いている理由は次の定理からきてる.

定理
一意分解整域 $R$ の任意の元 $a$ は素元の積に一意的に分解される. すなわち
\[ a=p_1p_2\cdots p_r=q_1q_2\cdots q_s\] (※$p_i,\ q_i$ は $R$ の素元)
ならば, $r=s$ であり, 積の順番を替えることにより, 各 $i$ に対して, $p_i$ と $q_i$ は同伴になる.

例
(1)有理整数環 $\Z$ はUFDである.

(2)環 $R$ がUFDならば $R[x]$ もUFDである. (※証明はけっこう長い.)
したがって $R[x_1,\cdots,x_n]$ もUFDである.

多項式環 $K[x]$ はUFD

定理
体 $K$ 上の多項式環 $K[x]$ はUFDである.

▼ 証明
[証明]
背理法で示す.
$K[x]$ の定数でない多項式で既約な多項式の積にならないものがある仮定する.

このとき, そのような多項式のうち, 次数が最小のものが存在する.
その１つを $f$ とすれば $f$ は既約でないから, \[ f=gh,\ \ \deg g <\deg f,\ \ \deg h <\deg f \] となるような $g,h\in K[x]$ が存在する.

$\deg f$ の最小性によって $g$ や $h$ は既約多項式の積となる.
したがって $f$ も既約多項式の積ということになり, これは矛盾する.

UFDでは, 既約元 $\iff$ 素元

定理
一意分解整域の既約元は常に素元である.

▼ 証明
[証明]
$R$ をUFDとし, $x\in R$ を既約元とする.
$x$ は０でない非単元なので, ある素元 $p_1,\cdots,p_n$ を用いて, \[ x=p_1 p_2 \cdots p_n\] という形に表せる.
ところが, $x$ は既約元なので, $n=1$ である.
従って, $x$ は素元である.

整域では,素元は常に既約元であった.
なので,この定理から
「一意分解整域では既約元 $\iff$ 素元」
が成り立つ.

UFDでない例

環 $A$ が一意分解整域(UFD)でないことを示すために, さっき示した定理：
「UFDにおいて, 既約元 $\iff$ 素元」
を用いる.
この定理より, $A$ に素元でない既約元が存在することを示せば, $A$ はUFDでないということになる.

例１
$A:=\C[x,y]/(y^2-x^3)$ はUFDでない.

▼ 証明
証明
$\ol{x}$ は $A$ の既約元である.
\[ \eq{ A/(\ol{x}) & =\C[x,y]/(y^2-x^3,x) \\ & =\C[x,y]/(y^2,x) \\ & \cong \C[y]/(y^2) }\] より, $A/(\ol{x})$ は整域でない.
従って, $(\ol{x})$ は素イデアルでないから, $(\ol{x})$ は素元でない.
よって, 素元でない既約元が存在するので, $A$ はUFDでない.

例２
$A:=\C[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2)$ はUFDでない.

▼ 証明
証明
$\ol{x}$ は既約元である. \[ \eq{ A/(\ol{x}) & =\C[x,y,z](x^2+y^2+z^2,x) \\ & =\C[x,y,z]/(y^2+z^2,x) \\ & \cong \C[y,z]/(y^2+z^2) \\ & \cong \C[Y,Z]/(YZ) \\ }\] (※最後は $Y=y+iz, Z=y-iz$ で変数変換した.)
より, $A/(\ol{x})$ は整域でない.
従って, $(\ol{x})$ は素イデアルでないから, $(\ol{x})$ は素元でない.
よって, 素元でない既約元が存在するので, $A$ はUFDでない.

例３
$A:=\C[x,y,z,w]/(xy-zw)$ はUFDでない.

▼ 証明
証明
$\ol{x}$ は既約元である. \[ \eq{ A/(\ol{x}) & =\C[x,y,z,w](xy-zw,x) \\ & =\C[x,y,z,x]/(x,zw) \\ & \cong \C[y,z,w]/(zw) \\ }\] より, $A/(\ol{x})$ は整域でない.
従って, $(\ol{x})$ は素イデアルでないから, $(\ol{x})$ は素元でない.
よって, 素元でない既約元が存在するので, $A$ はUFDでない.