素イデアル

定義

定義
環 $A$ のイデアル $\p\ (\neq A)$ が次を満たすとき, $\p$ を素イデアル (prime ideal) という.
$\ \ \ ab\in \p$ ならば $a\in \p$ または $b\in \p\ \ \ \cdots (*)$
が成り立つ.

$(*)$ の対偶は
$\ \ \ a\not\in \p$ かつ $b\not\in \p$ ならば $ab\not\in \p$
であり, $(*)$ よりも使うことが多い.
例えば, この対偶からただちに次がわかる.

定理１
環 $A$ のイデアル $\p$ について,
$\p$ は素イデアルである $\iff$ $A/\p$ は整域である

この定理から特に, $A$ が整域ならば $(0)$ は素イデアルである.

例

例
$\Z$ において, $(0),\ (p)$ は素イデアルである.
ここで, $p$ は素数とする.
実際, $\Z/p\Z$ は整域なので $(p)$ は素イデアルである.

一方で, $\Z/4\Z$ は整域でないので, $(4)$ は素イデアルでない.

例
$\R[x]$ において, $(x^2+1)$ は素イデアルである.
実際, 準同型定理より,
$\ \ \ \R[x]/(x^2+1)\cong \C$ が成り立ち, 右辺は整域なので $(x^2+1)$ は素イデアルである.

一方で, $(x^2-1)$ は素イデアルでない.
実際, $x^2-1\in (x^2-1)$ であるが,
$\ \ \ x-1\not\in (x^2-1)$ かつ $x+1\not\in (x^2-1)$
だからである.

例
$\C[x]$ において, $(0)$ は素イデアルであり, 任意の $a\in \C$ に対して, $(x-a)$ も素イデアルである.

$\C[x,y]$ において,
$(0),\ (x),\ (y),\ $ $(x^2+y^2-1),\ (x^3-y^2)$
は素イデアルであり,
$(x,y),\ (x-1,y),\ $ $(x-1,y-1)$ も素イデアルである.