極大イデアル【性質と例と反例】
この記事では, 極大イデアルについて下記の内容を説明します.
まずは極大イデアルの定義を確認しておきます.
定義
環 $A$ のイデアル $\m\ (\neq A)$ が次の条件を満たすとき,
極大イデアル
(maximal ideal) という.
任意のイデアル $I$ に対して, $\m\subsetneq I\subset A$ ならば $I=A.$
極大イデアルの判定法
イデアルが極大かどうかの判定は次の定理をよく使う.
定理
環 $A$ のイデアル $I$ について次は同値である.
(1) $I$ は極大イデアルである.
(2) $A/I$ は体である
[証明]
(1) $\Rightarrow$ (2)
$I$ を極大イデアルとする.
$A/I$ の $\ol{0}$ でない元 $\ol{a}:=a+I$ を任意にとる.
$I$ は極大であり, かつ $I\subsetneq (a)+I$ より,
$\ \ \ (a)+I=A.$
従って, $1\in (a)+I$ より, $ab+i=1$ を満たす
$b\in (a),\ i\in I$ が存在する.
$ab-1=-i\in I$ なので, $\ol{a}\ol{b}=\ol{1}$ が成り立つ.
よって, $A/I$ は体である.
(1) $\Leftarrow$ (2)
$I$ が極大イデアルでないと仮定する.
すると, ある非単元 $a\in A$ があって,
$\ \ \ I\subsetneq (a)+I\subsetneq A$
となるイデアル $J:=(a)+I$ が存在する.
すると, $A/I$ において, $a+I$ は非単元である.
なぜなら, もし $a+I$ が単元とすれば,
$J=A$ となり, 矛盾するからである.
従って, $A/I$ は体でない.
よって, 対偶から示せた.
例
$\Z$ のイデアル $(3)$ は極大イデアルである.
実際, 剰余環 $\Z/(3)$ は体である.
例
$\R[x]$ のイデアル $(x^2+1)$ は極大イデアルである.
実際, 準同型定理より,
$\ \ \ \R[x]/(x^2+1)\cong \C$
であり, $\C$ は体である.
例
$\R[x,y]$ において, $(x,y)$ は極大イデアルである.
なぜなら $\R[x]/(x,y)$ は体 $\R$ に同型だからである.
極大イデアルでない例
例
$\Z$ のイデアル $(0)$ は極大イデアルでない.
実際, 剰余環 $\Z/(0)\cong\Z$ は体でない.
※極大イデアルの判定法を使わなくても定義どおり示せる.
実際, 例えば $(0)\subsetneq (3)$ のように $(0)$
より大きい真イデアルが存在するので, $(0)$ は極大イデアルでない.
例
$\Z[x]$ のイデアル $(x)$ は極大イデアルでない.
実際, 剰余環 $\Z[x]/(x)\cong \Z$ は体でない.
[別解] $(x)\subsetneq (2,x)$ より,
$(x)$ より大きい真イデアルが存在するので, $(x)$ は極大イデアルでない.
例
$\R[x,y]$ において, $(x)$ は極大イデアルでない.
実際, 剰余環 $\R[x,y]/(x)\cong (y)$ は体でない.
[別解] $(x)\subsetneq (x,y)$ より,
$(x)$ より大きい真イデアルが存在するので, $(x)$ は極大イデアルでない.
極大イデアルの逆像について
素イデアルの重要な性質として,
「素イデアルの逆像は素イデアル」というものがありました.
(正確に言うと, 環準同型写像 $f:A\to B$ と $B$ の素イデアル $P$ について,
逆像 $f^{-1}(P)$ は素イデアルである.)
しかし, 極大イデアルの場合, 逆像は極大イデアルとは限りません.
例
$i:\Z\to \Q$ を包含写像とする.
$(0)$ は $\Q$ の極大イデアルだが,
その引き戻し $i^{-1}((0))=(0)$ は
$\Z$ において極大イデアルでない.
「極大イデアルの逆像が極大でない」をスキームの言葉でいうと, 「閉点から閉点にいくとは限らない」となります.