ユークリッド整域【例と反例】
この記事では, ユークリッド整域の例と反例を紹介します。
はじめに、ユークリッド整域の定義を確認しておきます。
定義
$R$ を整域とし, $R^*=R\sm\{0\}$ とする.
次の条件を満たす 関数 $\v:R^*\to \Z_{\geq 0}$
が存在するとき,
$R$ をユークリッド整域
(Euclidean domain) という.
任意の $a,b\in R^*$ に対して,
\[ a=bq+r \ \ \ (r=0\te{または} \v(r)< \v(b))\]
を満たす $q,r\in R$ が存在する.
※関数 $\v$ をユークリッドノルムと呼ぶことがある.
ユークリッド整域の例
有理整数環 $\Z$
例
$\Z$ はユークリッド整域である.
- ▼ 証明
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[証明]
実際, $\v(x)=|x|$ とすれば, 整数の性質より, 任意の $a,b\in \Z^*$ に対して,
\[ a=bq+r \ \ \ (r=0 \te{または} |r|< |b|) \] を満たす $q,r\in \Z$ が存在する.
体 $K$
例
体 $K$ はユークリッド整域である.
- ▼ 証明
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[証明]
任意の $a,b\in K^*$ に対して, $q=b^{-1}a,\ r=0$ とすれば, \[ a=bq+r \te{かつ} r=0 \] を満たす. ※常に $r=0$ なので $\v$ は考えなくてよい.
体上の多項式環
例
体 $K$ 上の多項式環 $K[x]$ はユークリッド整域である.
- ▼ 証明
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[証明]
実際, $f\in K[x]^*$ に対して, $\v(f)=\deg f$ と定める.
ここで, $\deg f$ は多項式 $f$ の次数を表す.
多項式の性質より, 任意の $f,g\in K[x]^*$ に対して,
\[ f=gq+r \ \ \ (r=0 \te{または} \deg r< \deg g) \] を満たす $q,r\in K[x]$ が存在する.
単項イデアル整域(PID)
上で述べたとおり, $\Z,K,K[x]$ はユークリッド整域である.
実は, 一般にPIDはユークリッド整域である.
定理Ａ
ユークリッド整域 $A$ は単項イデアル整域(PID)である.
- ▼ 証明
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証明
$\v:A\sm\{0\}\to \Z$ をユークリッドノルムとする.
$I$ を $A$ の０でないイデアルとする.
$a\in I$ を $\v(a)$ が最小となるようにとる.
任意の $b\in I$ をとる.
すると, ある $q,r\in A$ が存在して
\[ b=aq+r \te{かつ} \v(r) <\v(a) \] を満たす.
もし $r\neq 0$ ならば $r=b-aq\in I$ であって, $\v(r) <\v(a).$
従って $\v(a)$ の最小性に矛盾する.
ゆえに $r=0.$ よって $b=aq\in (a).$
$b\in I$ は任意なので $I=(a).$
ユークリッド整域でない例
単項イデアル整域でない環
例
定理Ａより, ユークリッド整域は単項イデアル整域である.
したがって, 単項イデアル整域でない環はユークリッド整域でない.
例えば, $\R[x,y]$ は, イデアル $(x,y)$ が単項イデアルでないので, $\R[x,y]$ は単項イデアル整域でない.
ゆえに, $\R[x,y]$ はユークリッド整域でもない.
単項イデアル整域だがユークリッド整域でない例
例
$\Z\left[\frac{1}{2}(1+\sqrt{-19})\right]$ は単項イデアル整域だがユークリッド整域でない.
証明はgoogleでpid non euclideanと検索すれば出てくる.