$\P^1$ 上のモース関数
この記事では、実射影直線 $\P^1$ から $\R$への関数 $f:$ \[ (x:y)\mapsto \f{y^2}{x^2+y^2} \] について次を示します。
- $f$ はwell-definedである
- $f$ は$C^∞$ 級関数である
- $f$ の臨界点は $(0:1),\ $ $(1:0)$ である
- 2つの臨界点はともに非退化である
- $(0:1)$ の指数は1, $(1:0)$ の指数は0
証明によって、局所座標表示について理解が深まると思います。
以下、定義・記号は[松本]に合わせます。
さらに、次の記号を以下、固定します。
$\ \ \ U_x:=\{(x:y)\in\P^1 \mid x\neq 0 \},$
$\ \ \ U_y:=\{(x:y)\in\P^1 \mid y\neq 0 \},$
$\ \ \ \ds r=\f{y}{x},\ s=\f{x}{y}.$
$\P^1$ 上の級関数
well-defined性
問題
$f:\P^1\to\R,$
\[ (x:y)\mapsto \f{y^2}{x^2+y^2} \]
はwell-definedであることを示せ.
[証明]
任意の $a\in \R\sm\{0\}$ に対して,
\[ (ax:ay) \mapsto
\f{(ay)^{\ 2}}{(ax)^{\ 2}+(ay)^{\ 2}}
=\f{y^{\ 2}}{x^{\ 2}+y^{\ 2}} \]
なので, 確かに $f$ はwell-definedである.
$C^∞$ 級関数であること
問題
$f:\P^1\to\R,$
\[ (x:y)\mapsto \f{y^2}{x^2+y^2} \]
は$C^∞$ 級関数であることを示せ.
[証明]
$x\neq 0$ のとき,
$(U_x;\ r)$ 上における $f$ の局所座標表示は,
$\ \ \ f(r)=\dfrac{r^2}{1+r^2}$
である.
$(\because \ r \mapsto (1:r)$
$\mapsto r^2/(1+r^2).)$
従って, $f$ は $U_x$ 上で $C^{\infty}$ 級である.
$y\neq 0$ のとき,
$(U_y;\ s)$ 上における $f$ の局所座標表示は,
$\ \ \ f(s)=\dfrac{1}{1+s^2}$
である.
$(\because \ s \mapsto (s:1)$
$\mapsto 1/(1+s^2).)$
従って, $f$ は $U_y$ 上で $C^{\infty}$ 級である.
以上から, $f$ は $C^{\infty}$ 級関数である.
$f$ の臨界点について
臨界点の定義は下記のとおり.
定義
$M, N$を $C^{\infty}$ 級多様体,
$f:M\to N$ を $C^{\infty}$ 級写像とする.
$(df)_p:T_p(M)\to T_p(N)$ が全射のとき, $p$ を $f$ の
正則点
(regular point) という.
一方, $(df)_p$ が全射でないとき, $p$ を $f$ の
臨界点
(critical point) という.
問題
関数 $f:\P^1\to\R,$
\[ (x:y)\mapsto \f{y^2}{x^2+y^2} \]
について次を示せ.
・$f$ の臨界点は $(0:1),\ $ $(1:0)$
である.
・2点とも非退化である.
・$(0:1)$ の指数は1で, $(1:0)$ の指数は0である.
証明
$(U_x;r)$ 上において, $f$ は
\[ f(r)=\dfrac{r^2}{1+r^2} \]
と表される. $f$ を微分すると,
\[ \dd{f}{r}(r)=-\dfrac{2r}{(1+r^2)^2}, \ \
\dd{^2 f}{r^2}=-\dfrac{-6r^2+2}{(1+r^2)^3} \]
であり,
\[ \dd{f}{r}(r)=0 \iff r=0\]
なので,
$U_y$ 上では $f$ の臨界点は $(1:0)$ のみである.
\[ \dd{^2 f}{r^2}(0)=2>0 \]
より, $(0:1)$ では非退化であり, その指数は0である.
$(U_y;s)$ 上において,
関数 $f$ は
\[ f(s)=\dfrac{1}{1+s^2} \]
と表される. $f$ を微分すると,
\[ \dd{f}{s}(s)=-\dfrac{2s}{(1+s^2)^2},\ \
\dd{^2 f}{s^2}=-\dfrac{6s^2-2}{(1+s^2)^3} \]
であり,
\[ \dd{f}{s}(s)=0 \iff s=0 \]
なので,
$U_y$ 上では $f$ の臨界点は $(0:1)$ のみである.
\[ \dd{^2 f}{s^2}(0)=-2<0 \]
より, $(0:1)$ では非退化であり, その指数は1である.
以上ですべて示せた.
以上から, モース理論の基本定理[横田 定理106]より次を得る.
\[ \P^1\simeq e^0\cup e^1. \]
【おまけ】 $\P^1$ の接ベクトル空間
この節では, $\P^1$ の接ベクトル空間を具体的な形で表す.
例
$\P^1$ を斉次座標 $(x_0:x_1)$ の実射影直線とする.
$U_i=\{(x_0:x_1)\in\P^1$ $\mid x_i\neq 0 \}$ とし,
$r=x_1/x_0,\ $ $s=x_0/x_1$ とし,
$(U_0;\ r), (U_1;\ s)$ を $\P^1$ の $C^{\infty}$ 級座標近傍とする.
$U_0\cap U_1$ 上では, $s=(1/r)$ である.
$\def\ddv#1{\left(\dfrac{\d}{\d #1}\right)_p}$
$U_0$ 上では, 各点 $p\in U_0$ に対して,
$\ \ \ T_p(\P^1)=<\ddv{r}>. $
$U_1$ 上では, 各点 $p\in U_1$ に対して,
$\ \ \ T_p(\P^1)=<\ddv{s}>$ である.
$U_0\cap U_1$ 上では, 基底変換
$\ \ \ \ddv{r}=\dd{s}{r}\ddv{s}$
$=\dfrac{-1}{r^2}\ddv{s}$
$=-s^2\ddv{s}$
が成り立つ.