ヴァンデルモンドの行列式【例と証明】

$ \def\xeq#1{\hspace{-2pt}\overset{(#1)}{=}\hspace{-3pt}} \def\1{\hspace{1pt}\mathrm{I}\hspace{1pt}} \def\Ghs{\hspace{-1.2pt}} \def\2{\mathrm{I}\Ghs\mathrm{I}} \def\3{\mathrm{I}\Ghs\mathrm{I}\Ghs\mathrm{I}} \def\4{\mathrm{I}\Ghs\mathrm{V}} $

この記事では、ヴァンデルモンドの行列式について例と証明を紹介します。

記法：
$K$ を $\R$ または $\C$ とする.

ヴァンデルモンドの行列式

定理Ａ
任意の $x_1,\cd,x_n\in K$ に対して, $$ \md{ 1 & 1 & \cd & 1 \cr x_1 & x_2 & \cd & x_n \cr x_1^{\ 2} & x_2^{\ 2} & \cd & x_n^{\ 2} \cr \vdots & \vdots & & \vdots \cr x_1^{\ n-1}& x_2^{\ n-1}& \cd & x_n^{\ n-1} } =\prod_{i< j}(x_j-x_i) $$ が成り立つ. ここで, 右辺は $i,j$ が $1\leq i< j \leq n$ を満たす整数の組を動くときのすべての項 $x_j-x_i$ の積を意味する.

左辺の行列式をヴァンデルモンドの行列式(Vandermonde determinant)という.

定理Ａの証明をする前に例をいくつか挙げる.

例

例
$$ \md{1 & 1 & 1 & 1 \cr x & y & z & w \cr x^2 & y^2 & z^2 & w^2 \cr x^3 & y^3 & z^3 & w^3 } =(y-x)(z-x)(w-x)(w-y)(w-z)(z-y). $$

例
$$\eq{ \md{1 & 1 & 1 & 1 \cr 2 & 3 & 4 & 5 \cr 2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \cr 2^3 & 3^3 & 4^3 & 5^3 } & =(3-2)(4-2)(5-2)(5-3)(5-4)(4-3) \\ & =1\c 2\c 3\c 2\c 1\c 1=12. }$$

定理Ａの証明

具体例 $(n=2,3,4)$

ここからは定理Ａの証明について述べる.
まず具体例として $n=2,3,4$ の場合を証明してみよう.
とくに $n=4$ の場合の証明(計算)が理解できれば, 一般の場合の証明も自然と理解できるはずである.

例 $(n=2)$
$$ \md{ 1 & 1 \cr x & y } =y-x $$

[証明]  行列式の定義から明らかである.

例 $(n=3)$
$$ \md{ 1 & 1 & 1 \cr x & y & z \cr x^2 & y^2 & z^2 } =(y-x)(z-x)(z-y) $$

▼ 証明

[証明]  左辺の行列式について, 次の手順で計算する.
$(\1)$ 第２行の $(-x)$ 倍を第３行に加える.
$(\2)$ 第１行の $(-x)$ 倍を第２行に加える.
$$\eq{ \te{左辺} & \xeq{\1}\ \md{ 1 & 1 & 1 \cr x & y & z \cr 0 & y(y-x) & z(z-x) } \\ & \xeq{\2}\ \md{ 1 & 1 & 1 \cr 0 & y-x & z-x \cr 0 & y(y-x) & z(z-x) } \\ & = \md{ y-x & z-x \cr y(y-x) & z(z-x) } \\ & =(y-x)(z-x) \md{ 1 & 1 \cr y & z } \\ & =(y-x)(z-x)(z-y). }$$

例 $(n=4)$
$$ \md{1 & 1 & 1 & 1 \cr x & y & z & w \cr x^2 & y^2 & z^2 & w^2 \cr x^3 & y^3 & z^3 & w^3 } =(y-x)(z-x)(w-x)(w-y)(w-z)(z-y). $$

▼ 証明

[証明]  左辺の行列式について, 次の手順で計算する.
$(\1)$ 第３行の $(-x)$ 倍を第４行に加える.
$(\2)$ 第２行の $(-x)$ 倍を第３行に加える.
$(\3)$ 第１行の $(-x)$ 倍を第２行に加える.
$(\4)$ $n=3$ の計算結果を用いる.
$$\eq{ & \md{ 1 & 1 & 1 & 1 \cr x & y & z & w \cr x^2 & y^2 & z^2 & w^2 \cr x^3 & y^3 & z^3 & w^3 } \\ \xeq{\1} & \md{ 1 & 1 & 1 & 1 \cr x & y & z & w \cr x^2 & y^2 & z^2 & w^2 \cr 0 & y^2(y-x) & z^2(z-x) & w^2(w-x) } \\ \xeq{\2} & \md{ 1 & 1 & 1 & 1 \cr x & y & z & w \cr 0 & y(y-x) & z(z-x) & w(w-x) \cr 0 & y^2(y-x) & z^2(z-x) & w^2(w-x) } \\ \xeq{\3} & \md{ 1 & 1 & 1 & 1 \cr 0 & y-x & z-x & w-x \cr 0 & y(y-x) & z(z-x) & w(w-x) \cr 0 & y^2(y-x) & z^2(z-x) & w^2(w-x) } \\ = & \md{ y-x & z-x & w-x \cr y(y-x) & z(z-x) & w(w-x) \cr y^2(y-x) & z^2(z-x) & w^2(w-x) } \\ = & (y-x)(z-x)(w-x) \md{ 1 & 1 & 1 \cr y & z & w \cr y^2 & z^2 & w^2 } \\ \xeq{\4}&(y-x)(z-x)(w-x)(w-y)(w-z)(z-y). }$$

帰納法による証明

$n=2,3,4$ の場合の証明がわかったと思うので, 一般の場合： $$ \md{ 1 & 1 & \cd & 1 \cr x_1 & x_2 & \cd & x_n \cr x_1^{\ 2} & x_2^{\ 2} & \cd & x_n^{\ 2} \cr \vdots & \vdots & & \vdots \cr x_1^{\ n-1}& x_2^{\ n-1}& \cd & x_n^{\ n-1} } =\prod_{i< j}(x_j-x_i) $$ を証明する. まず, 帰納法による証明を述べる.

▼ 定理Ａの証明

[証明]  数学的帰納法で示す.
$n=2$ のとき, 等式が成り立つことはただちにわかる.
一般の場合, 左辺の行列式について, 次の手順で計算する.
$(1)$ 第 $n-1$ 行の $(-x_1)$ 倍を第 $n$ 行に加える.
$(2)$ 第 $n-2$ 行の $(-x_1)$ 倍を第 $n-1$ 行に加える.
$\ \ \ \ \cd \cd \cd$
$(n-2)$ 第 $2$ 行の $(-x_1)$ 倍を第 $3$ 行に加える.
$(n-1)$ 第 $1$ 行の $(-x_1)$ 倍を第 $2$ 行に加える.

すると, 下記の行列式になる. $$ (*):= \md{ 1 & 1 & \cdots & 1 \cr 0 & x_2-x_1 & \cdots & x_n-x_1 \cr 0 & x_2(x_2-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1) \cr \vdots& \vdots & & \vdots \cr 0 &x_2^{\ n-2}(x_2-x_1)& \cdots & x_n^{\ n-2}(x_n-x_1)} $$ さらに計算すると, $$ \eq{ (*) & =(x_2-x_1)\cdots(x_n-x_1) \md{ 1 & 1 & \cdots & 1 \cr x_2 & x_3 & \cdots & x_n \cr x_2^{\ 2} & x_3^{\ 2} & \cdots & x_n^{\ 2} \cr \vdots & \vdots & & \vdots \cr x_2^{\ n-2}&x_3^{\ n-2}& \cdots & x_n^{\ n-2} } \\ &=(x_2-x_1)\cdots(x_n-x_1)\prod_{1< i< j}(x_j-x_i) \\ & =\prod_{i< j}(x_j-x_i) }$$ よって, 等式が成り立つ.

【別証】因数定理による証明

次の（多変数多項式の）因数定理を使えば、エレガントな証明ができる.

因数定理 (多変数)
$f(x_1,\cdots, x_n)$ を $n$ 変数多項式とし, $g(x_2, \cdots, x_n)$ を $n-1$ 変数多項式とする.
このとき, $f(x_1,\cdots, x_n)$ が $x_1 − g(x_2, \cdots, x_n)$ で割り切れるための必要十分条件は, $$ f(g(x_2, \cdots, x_n),x_2, \cdots, x_n)=0 $$ を満たすことである.

▼ 証明

[証明]  $f, g$ を $x_1$ の多項式と見れば $g$ は $x_1$ に関して定数である.
したがって, 一変数の場合の因数定理から主張は成り立つ.
※各変数について同様の主張が成り立つ.

では, この因数定理を用いた証明を述べる.

▼ 定理Ａの別証

[証明]  $x_1,\cdots,x_n$ を多項式の変数として見よう.
$x_j=x_i$ とすれば, 左辺の行列の第 $i$ 列と第 $j$ 列が等しくなり, 左辺は０になる.
したがって, $x_j$ を変数とみた因数定理によって行列式は $x_j-x_i$ で割り切れる. ゆえに
$$ \te{左辺}=Q(x)\prod_{i< j}(x_j-x_i) $$ と書ける. ※$Q(x):=Q(x_1,\cd,x_n)$ は $n$ 変数多項式.

次に, $Q(x)$ が定数であることを示すために, 両辺の(多項式の)次数が等しいことを示そう.
左辺の次数は行列式の定義より,
$$ 1+2+\cdots + n-1= \f{n(n-1)}{2} $$ である. 右辺の $\ds\prod_{i< j}(x_j-x_i)$ の次数は異なる $n$ 個の変数から２個選ぶ組み合わせを考えると, $$ {}_nC_2=\f{n(n-1)}{2}. $$ したがって, 左辺と右辺の次数を比較すると, $Q(x)$ は定数であることがわかる.

最後に, $Q(x)=1$ であることを示そう.
左辺の行列式の対角成分の積
$$ x_2x_3^{\ 2}\cdots x_n^{\ n-1} $$ に着目すると, この単項式が出るのは対角成分の積しかないので, この項の係数は１である. 他方, $$\eq{ \prod_{i< j}(x_j-x_i) = &(x_n-x_1)(x_n-x_2)\ \cdots\cdots (x_n-x_{n-1}) \\ &(x_{n-1}-x_1)(x_{n-1}-x_2)\cdots(x_{n-1}-x_{n-2}) \\ & \ \ \ \cd \cd \cd \cd \\ & \ \ \ \cd \cd \cd \cd \\ & (x_3-x_1)(x_3-x_2) \\ & (x_2-x_1) }$$ より, 単項式 $$ x_2x_3^{\ 2}\cdots x_n^{\ n-1} $$ の係数は１であることが分かる.
(実際, $x_n$ の指数が $n-1$ になるためには, 上式１行目のそれぞれの括弧から $x_n$ を選ぶしかない.
なぜなら, ２行目以下は $x_n$ が１つもないからである.
同様に, 上式２行目はそれぞれの括弧から $x_{n-1}$ を選ぶしかない. 以下同様である.)
したがって, $Q(x)=1$ である.
よって, 求める等式が得られた.