部分群【例題と証明】

この記事では, 部分群の例題とその証明を扱います。

はじめにに部分群の定義を確認しておきましょう。

定義
群 $G$ の空でない部分集合 $H$ が $G$ と同じ演算で群をなすとき, $H$ を $G$ の部分群という.

例題と証明

部分群であるための必要十分条件

例題
群 $G$ の空でない部分集合 $H$ に対して, 次の各条件は互いに同値であることを示せ.
(1) $H$ は $G$ の部分群である.
(2) $a,b\in H$ ならば, $ab\in H$ かつ $a^{-1}\in H.$
(3) $a,b\in H$ ならば $ab^{-1}\in H.$

▼ 証明

[証明]
(1) $\Rightarrow$ (2) は部分群の定義から明らかである.
(2) $\Rightarrow$ (3) も明らかである.
(3) $\Rightarrow$ (2) を示す.
$H$ は空集合でないから, $x\in H$ を１つとれる.
条件(3)を用いると,
$\ \ \ 1=xx^{-1}\in H.$
従って, $H$ に単位元が存在する.
次に, 任意の $a\in H$ をとる.
$1,a\in H$ より, $a^{-1}=1a^{-1}\in H.$
ゆえに, $H$ の任意の元に対して逆元が存在する.
このことから,
$\ \ \ x,y\in H$ ならば $xy\in H$
が導かれる.
実際, $x\in H$ ならば $x^{-1}\in H$ より,
$\ \ \ xy=(x^{-1})^{-1}y\in H$
となるからである.
以上で, 集合 $H$ に積が定義されて, 単位元と逆元の存在がわかり, 結合法則は群 $G$ の部分集合 $H$ においては当然成り立っているので, $H$ は $G$ の部分群である.

共通部分 $H_1\cap H_2$

例題
$H_1,H_2$ を群 $G$ の部分群とする.
このとき, $H_1\cap H_2$ は $G$ の部分群であることを示せ.

▼ 証明

[証明]
$a,b\in H_1\cap H_2$ ならば, $a,b\in H_1$ であるから, 部分群の性質より, $ab^{-1}\in H_1$ である.
同様にして, $ab^{-1}\in H_2.$
よって, $ab^{-1}\in H_1\cap H_2$ なので, $H_1\cap H_2$ は $G$ の部分群である.

積 $HK$

例題
$G$ の部分群 $H,K$ に対して, $HK$ が $G$ の部分群になるための必要十分条件は $HK=KH$ であることを示せ.

▼ 証明

[証明]
$HK=KH$ であれば, $hk,h'k'\in HK, h,h'\in H, k,k'\in K$ に対して,
$\ \ \ (hk)^{-1}(h'k')=k^{-1}(h^{-1}h')k'\in KHK=HKK=HK$
となるから $HK$ は $G$ の部分群である.
逆に $HK$ が $G$ の部分群であれば
$\ \ \ HK=(HK)^{-1}=K^{-1}H^{-1}=KH$
となる.

特殊線形群 $\SL_n(\R)$

例題
特殊線形群 $\SL_n(\R)$ は一般線形群 $\GL_n(\R)$ の部分群であることを示せ.

▼ 証明

[証明]
$A,B\in \SL_n(\R)$ ならば
$\ \ \ \det(AB^{-1})$
$=\det(A)\det(B^{-1})$
$=\det(A)\det(B)^{-1}$
$=1\cdot 1=1.$
従って, $AB^{-1}\in \SL_n(\R)$ なので, $\SL_n(\R)$ は $\GL_n(\R)$ の部分群である.

直交群 $O(n)$

例題
直交群 $O(n)$ は一般線形群 $\GL_n(\R)$ の部分群であることを示せ.

▼ 証明

[証明]
$A,B\in O(n)$ ならば
$\ \ \ {}^t(AB^{-1})(AB^{-1})$
$={}^tB^{-1}({}^tAA)B^{-1}$
$={}^tB^{-1}B^{-1}$
$=I.$
従って, $AB^{-1}\in O(n)$ なので, $O(n)$ は $\GL_n(\R)$ の部分群である.

【おまけ】部分群の例

例
(1)交代群 $A_n$ は対称群 $S_n$ の部分群である.
(2)クラインの四元群:
$V=\{ e,(1\ 2)(3\ 4),$ $(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3)\}$
は $A_n$ の部分群である. ※$S_n$ の部分群でもある.

※$V\cong \Z/2\Z\times \Z/2\Z$ である.

例
(1)$\{1,-1\}$ は $\R^*$ の部分群である.
(2)$\{1,i,-1,-i\}$ は $\C^*$ の部分群である.