剰余群

定義

定理
$N$ を群 $G$ の正規部分群とする.
$G$ の $N$ による左剰余類全体を $G/N$ とする.
$G/N$ は群をなす.

証明
$aN\cdot bN=abN$ とすると, この積は閉じている.
実際, $N$ は正規部分群なので,
$aN\cdot bN$ $=aNbN$ $=abNN$ $=abN.$

$(aN\cdot bN)\cdot cN$ $=(abN)(cN)$ $=abcN$ $=(aN)(bcN)$ $=aN\cdot (bN\cdot cN)$
より, 結合法則が成り立つ.
$G/N$ の単位元は $eN=N$ である.
$aN$ の逆元は $a^{-1}N$ である.
以上から, 群の公理を満たすので, $G/N$ は群をなす. 　$\square$

定義
群 $G$ の 正規部分群 $N$ に関する左剰余類全体がつくる群のことを, $G$ の $N$ による剰余群といい, $G/N$ で表す.

例

例
加法群 $\Z$ において, $3\Z$ は $\Z$ の正規部分群である.
剰余群 $\Z/3\Z$ は
$\Z/3\Z$ $=\{0+3\Z,$ $1+3\Z,$ $2+3\Z\}$
である. ここで,
$0+3\Z=3\Z,$
$1+3\Z$ $=\{3n+1\mid n\in \Z\},$
$2+3\Z$ $=\{3n+2\mid n\in \Z\}$
である.

例
加法群 $\R$ において, $\Z$ は $\R$ の正規部分群である.
剰余群 $\R/\Z$ は
$\R/\Z$ $=\{a+\Z\mid a\in [0,1)\}$
である.