群の準同型定理【証明と応用】

この記事では、次の定理について証明と応用問題を扱います。

• 準同型定理 (第１同型定理)
• 第２同型定理
• 第３同型定理

準同型定理の応用では、群の同型を示す問題を扱います。

準同型定理の証明

準同型定理

準同型定理 (第１同型定理)
$f:G\to G^{\prime }$ を群の準同型写像とする. このとき,
$$G/\mathrm{Ker}f\cong \mathrm{Im}f.$$ 特に $f$ が全射のとき $G/\mathrm{Ker}f\cong G^{\prime }$ が成り立つ.

▼ 証明

[証明]
$N=\mathrm{Ker}f$ とおく.
$f$ から誘導される全単射 $\phi :G/N\to f(G),gN\mapsto f(g)$ が同型写像であることを示せばよい.
そのために, 次の２つを示そう.
(1) $\phi$ はwell-definedである.
(2) $\phi$ が準同型写像である.

(1) $gN=g^{\prime }N(g,g^{\prime }\in G)$ であるとき, ある $n\in N$ が存在して, $g=g^{\prime }n$ である. $$\begin{array}{rl}\phi (gN)& =\phi (g^{\prime }nN)=f(g^{\prime }n)\\ & =f(g^{\prime })f(n)=f(g^{\prime })e\\ & =f(g^{\prime })=\phi (g^{\prime }N).\end{array}$$ したがって, $\phi$ はwell-definedである.

(2) $aN,bN\in G/N$ に対して, $$\begin{array}{rl}\phi ((aN)(bN))& =\phi (abN)=f(ab)\\ & =f(a)f(b)=\phi (aN)\phi (bN).\end{array}$$ ゆえに, $\phi$ は準同型写像である.

以上で, 定理は証明された.

第２同型定理

第２同型定理
$H,N$ を群 $G$ の部分群とし, $N⊲G$ とする. このとき,
$$H/(H\cap N)\cong HN/N.$$

▼ 証明

[証明]
$\phi :H\to HN/N,$ $h\mapsto heN$ とすると, $\phi$ は準同型写像である. (※$e$ は単位元.) $$\begin{array}{rl}h\in \mathrm{Ker}\phi & ⟺\phi (h)=N\\ & ⟺heN=N\\ & ⟺h\in N\\ & ⟺h\in H\cap N\end{array}$$ $$\therefore \mathrm{Ker}\phi =H\cap N$$ よって, $$H/(H\cap N)\cong HN/N.$$ が成り立つ.

[補足]
$\phi$ が準同型写像である理由：
$N⊲G$ なので, $h,h^{\prime }\in H$ に対して, $$\begin{array}{rl}\phi (h{h}^{\prime })& =h{h}^{\prime }eN=h{h}^{\prime }N\\ & =h{h}^{\prime }NN=hN{h}^{\prime }N\\ & =(heN)(h^{\prime }eN)\\ & =\phi (h)\phi (h^{\prime })\end{array}$$ が成り立つ.
よって, $\phi$ は準同型写像である.

第３同型定理

第３同型定理
$H,N$ を群 $G$ の正規部分群とし, $H\supset N$ とする. このとき,
$$(G/N)/(H/N)\cong G/H$$

▼ 証明

[証明]
$\phi :G/N\to G/H,$ $gN\mapsto gH$ とすると, $\phi$ は準同型写像である. $$\begin{array}{rl}gN\in \mathrm{Ker}\phi & ⟺\phi (gN)=H\\ & ⟺gH=H\\ & ⟺g\in H\\ & ⟺gN\in H/N\end{array}$$ $$\therefore \mathrm{Ker}\phi =H/N$$ よって, $$(G/N)/(H/N)\cong G/H$$ が成り立つ.

[補足]
$\phi$ が準同型写像である理由：
$N⊲G$ かつ $H⊲G$ なので, $gN,g^{\prime }N\in G/N$ に対して, $$\begin{array}{rl}\phi (gN{g}^{\prime }N)& =\phi (g{g}^{\prime }NN)=\phi (g{g}^{\prime }N)\\ & =g{g}^{\prime }H=g{g}^{\prime }HH\\ & =gH{g}^{\prime }H\\ & =\phi (gN)\phi (g^{\prime }N)\end{array}$$ が成り立つ.
よって, $\phi$ は準同型写像である.

応用問題

準同型定理 (群の同型を示す問題)

問題
乗法群 $S^1=\{z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$ $\mid |z|=1\}$ について, $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1$ を示せ.

▼ 証明

[証明]
$f:\mathbb{R}\to S^1,$ $\theta \mapsto e^{\theta }$ と定める.
$$f(\theta +\varphi )=e^{i(\theta +\varphi )}=e^{i\theta }{e}^{i\varphi }=f(\theta )f(\varphi )$$ より, $f$ は準同型写像である.
$f$ は全射であり, $\mathrm{Ker}f\cong \mathbb{Z}.$
よって, $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1.$

問題
$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ を示せ.

▼ 証明

[証明]
$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z},$ $a\mapsto (a,a)$ とすると, $f$ は全射で, $\mathrm{Ker}\phi =6\mathbb{Z}.$
従って, 準同型定理より, $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.$

問題
$S_n$ を対称群, $A_n$ を交代群とする.
このとき, $S_n/A_n\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ を示せ.

▼ 証明

[証明]
$f:S_n\to \{1,-1\},$ $\sigma \mapsto \mathrm{sgn}(\sigma )$
と定める.
ただし, $\mathrm{sgn}(\sigma )$ は, $\sigma$ が偶置換なら $1$, 奇置換なら $-1$ とする.
このとき, $f$ は全射であり, $\ker f\cong A_n.$
よって, $S_n/A_n\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$
※$\{1,-1\}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

問題
${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})/{\mathrm{SL}}_n(\mathbb{R})\cong {\mathbb{R}}^{\ast }$ を示せ.
ただし, 記号は下記のとおりである.
${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})$ $\mid detA\ne 0\},$
${\mathrm{SL}}_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})$ $\mid detA=1\},$
${\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}\setminus \{0\}.$
$M_n(\mathbb{R})$ は実数成分の $n$ 次正方行列全体

▼ 証明

[証明]
$f:{\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})\to {\mathbb{R}}^{\ast },$ $A\mapsto detA$
と定める.
$$f(AB)=det(AB)=det(A)det(B)=f(A)f(B)$$ より, $f$ は準同型写像である.
$f$ は全射であり, $\mathrm{Ker}f\cong {\mathrm{SL}}_n(\mathbb{R}).$
よって, ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})/{\mathrm{SL}}_n(\mathbb{R})\cong {\mathbb{R}}^{\ast }.$

問題
$SO(n)$ を特殊直交群, $O(n)$ を直交群とする.
$$O(n)/SO(n)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ であることを示せ.

▼ 証明

[証明]
$f:O(n)\to \{1,-1\}$
$A\mapsto detA$
とすると, $f$ は全射な準同型写像である.
なぜなら, $det{I}_n=1$ であり, 対角行列 $D=\mathrm{diag}(-1,1\cdots 1)$ については $detD=-1$ となるからである.

このとき, $\mathrm{Ker}f=SO(n)$ なので, 準同型定理より,
$$O(n)/SO(n)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$$

第２同型定理

問題
$V$ を $S_4$ の正規部分群： $$V=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$$ とする. このとき次の同型を示せ. $$S_4/V\cong S_3$$

▼ 証明

[証明]
$$H=\{\sigma \in S_4\mid \sigma (4)=4\}\cong S_3$$ として, 第２同型定理より, $$HV/V\cong H/(H\cap V)=H.$$ 一方, $|HV|=24$ より, $HV=S_4$ よって, $$S_4/V\cong H\cong S_3.$$ [補足]
$|HV|=24$ である理由：
$|H|=6,|V|=4$ であり, 写像 $\phi :H\times V\to HV,(h,x)\mapsto hx$ は単射であることを示せばよい.
※$H\times V$ は集合の直積で, 元の個数は24である.

実際, $h,h^{\prime }\in H,x,x^{\prime }\in V$ として, $hx=h^{\prime }{x}^{\prime }$ が成り立っているとする.
両辺に $h^{\prime -1}$ を左からかけて, $h^{\prime -1}hx=x^{\prime }.$ さらに, $x^{-1}$ を右からかけると, $h^{\prime -1}h=x^{\prime }{x}^{-1}.$ 左辺は $H$ の元, 右辺は $V$ の元なので, 両辺は $H\cap V=\{e\}$ の元である. したがって, $$h^{\prime -1}h=x^{\prime }{x}^{-1}=e$$ ゆえに, $h=h^{\prime },x=x^{\prime }.$
よって, $\phi$ は単射である.

第３同型定理

問題
同型 $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})/(3\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ を示せ.

▼ 証明

[証明]
$\mathbb{Z}$ は可換群なので, その部分群 $3\mathbb{Z},6\mathbb{Z}$ はともに $\mathbb{Z}$ の正規部分群である. したがって, 第３同型定理より, $$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})/(3\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.$$