一般線形群

この記事では一般線形群について例を紹介します.

定義
$K$ を体, $M_n(K)$ を $n$ 次正方行列全体とする.
$M_n(K)$ のうち,正則な行列全体が行列の積に関してなす群のことを一般線型群といい, $\GL_n(K)$ で表す.

位相的性質

問題
$\GL_n(\R)$ は連結でないことを示せ.

[証明]
$f:\GL_n(\R) \to \R,\ $ $A \mapsto \det A$ とすると, $f$ は連続である.
($\because\ \ \det A$ を展開すると多項式の形になるから.)
連続像 $f(\GL_n(\R))=\R\sm\{0\}$ は連結でないので, $\GL_n(\R)$ も連結でない.

問題
$\GL_n(\R)$ はコンパクトでないことを示せ.
※$\GL_n(\R)$ は $n$ 次の可逆行列全体.

▼ 解答

[解答]
$f:\GL_n(\R) \to \R,\ $ $\ A \mapsto \det A$
とすると, $f$ は連続である.
($\because\ $ $\det A$ を展開して整理すると多項式の形になるから.)
$f(\GL_n(\R))$ $=\R\sm\{0\}$ はコンパクトでないので $\GL_n(\R)$ はコンパクトでない.