群の剰余類

定義

定義
$G$ を群, $H$ をその部分群とする.
$G$ の元 $a,b$ が $a^{-1}b\in H$ を満たすとき, $a$ は $b$ に左合同 であるといい,
$\ \ \ a\equiv b\ (\mod\ H)$
で表す.

同値関係 $\equiv$ による $a\in G$ の同値類は
$\ \ \ aH=\{ah\in G\mid h\in H\}$
であり, $aH$ を左剰余類という.

※右合同は $ab^{-1}\in H$ で定める.
右剰余類は $Ha=\{ha\mid h\in H\}$ である.

例

例
加法群 $\Z$ の部分群 $3\Z$ については, 次の3つの剰余類に分解される.
$0+3\Z=3\Z,$
$1+3\Z=\{3n+1\mid n\in \Z\},$
$2+3\Z=\{3n+2\mid n\in \Z\}.$

例
対称群 $S_3$ の部分群 $H=\{e,(12)\}$ について.
$\s=(123),\ \tau=(132)$ とすると,

[左剰余類]
$\ \ \ eH=H,$
$\ \ \ \s H=\{(123),(13)\},$
$\ \ \ \tau H =\{(132),(23)\}.$

[右剰余類]
$\ \ \ He=H,$
$\ \ \ H\s=\{(123),(23)\},$
$\ \ \ H\tau=\{(132),(13)\}.$

指数

定義
$G$ を群, $H$ をその部分群とする.
$G$ における $H$ の指数とは　 $G$ の $H$ に関する異なる左剰余類の個数のことであり, $(G:H)$ と表す.

※指数は無限になることもありえる.
(例 $(\R:\Z)=\infty$)

例
(1) $(\R^*:\R^+)=2$
(2) $(\Z:3\Z)=3$
(3) $(\Z:m\Z)=m$

ラグランジュの定理

定理(ラグランジュ)
$G$ を有限群, $H$ をその部分群とすれば,
$\ \ \ |G|=(G:H)|H|$
が成り立つ.

※ $|G|$ は $G$ の位数であり, $(G:H)$ は指数を表す.

ラグランジュの定理より, 次がわかる.
「有限群 $G$ の任意の部分群の位数は $|G|$ の約数である」

例
$S_4$ を４次対称群とする.
$\ \ \ |S_4|=4!=24$
なので, $S_4$ の部分群の位数は
$\ \ \ 1,2,3,4,6,8,12,24$
のいずれかである.