上半平面のリッチ曲率

この記事では上半平面 $H$ の
・リッチ曲率 $R_{ij}$
・スカラー曲率 $S$
・ガウス曲率 $K_{\sigma}$
を求める.

問題
$H=\{(x,y)\in \R^2 \mid y>0\}$ とし,
$g=\dfrac{dx^2+dy^2}{y^2}$
を $H$ のリーマン計量とする. このとき次を示せ.
・$R_{11}=R_{22}=-y^{-2},$
・$S=-2,$
・$K_{\sigma}=-1.$
ただし, $\d_1=\dd{}{x},\ \d_2=\dd{}{y},$ $\ R_{ij}=\mathrm{Ric}(\d_i, \d_j)$ とする.

証明には次の公式を使う.
$\ \G_{ij}^k=\dfrac{1}{2}g^{kl}(\d_ig_{jl}+\d_jg_{il}-\d_lg_{ij}) \ \ \cdots (1)$
$\ R_{ijk}^{\ \ \ \ \ l}=\d_i\G_{jk}^l-\d_j\G_{ik}^l+\G_{jk}^m \G_{im}^l-\G_{ik}^m\G_{jm}^l \ \ \cdots(2) $
$\ R_{ij}=R_{hij}^{\ \ \ \ \ \ h} \ \ \cdots (3)$

証明
$g$ を行列で表すと,
$\begin{equation} (g_{ij})= \begin{pmatrix} y^{-2} & 0 \\ 0 & y^{-2} \\ \end{pmatrix}, \end{equation}$
$\begin{equation} (g^{ij})=(g_{ij})^{-1}= \begin{pmatrix} y^2 & 0 \\ 0 & y^2 \\ \end{pmatrix}. \end{equation}$
公式(1)と公式 $\G_{ij}^k=\G_{ji}^k$ を使って計算すると,
$\G_{12}^1=\G_{21}^1=-\G_{11}^2=\G_{22}^{2}=-y^{-1}.$
上式以外は 0.

次に, 公式(2)を使って計算すると,
$R_{122}^{\ \ \ \ \ \ 1}=R_{211}^{\ \ \ \ \ \ 2}=-y^{-2}.$
一方で, $R(X,Y)=-R(Y,X)$ より, $R(\d_i,\d_i)=0.$
従って, $R_{iik}^{\ \ \ \ \ l}=0.$ これにより,
$R_{111}^{\ \ \ \ \ \ 1}=R_{222}^{\ \ \ \ \ \ 2}=0.$

次に, 公式(3)を使うと,
$R_{11}=R_{h11}^{\ \ \ \ \ \ h} =R_{111}^{\ \ \ \ \ \ 1}+R_{211}^{\ \ \ \ \ \ 2}=-y^{-2},$
$R_{22}=R_{h22}^{\ \ \ \ \ \ h} =R_{122}^{\ \ \ \ \ \ 1}+R_{222}^{\ \ \ \ \ \ 2}=-y^{-2}.$
よって,
$S=g^{ij}R_{ij}=g^{11}R_{11}+g^{22}R_{22}$ $=(-1)+(-1)=-2.$
$(\because\ g^{12}=g^{21}=0.)$

最後に, 公式 $K_\sigma=\dfrac{R_{1221}}{g_{11}g_{22}}$ を使って, $K_{\sigma}$ を求める.
公式 $R_{ijkl}=R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ m}g_{ml}$ より,
$R_{1221}=R_{122}^{\ \ \ \ \ \ 1}g_{11} +R_{122}^{\ \ \ \ \ \ 2}g_{21} $
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ =R_{122}^{\ \ \ \ \ \ 1}g_{11} =(-y^{-2})y^{-2}=-y^{-4}.$
よって, $K_\sigma=-1.$

補足
公式 $S=2K_{\sigma}$ を使えば, すぐに, $K_{\sigma}=-1$ を出せる.
今回は計算に慣れるため, あえて地道に計算した.