リーマン幾何学の公式集

コシュールの公式
$\begin{cases} \n_X Y-\n_Y X=[X,Y] & \cdots (1) \\ X\l Y,Z\r = \l\n_X Y,Z \r + \l Y,\n_X Z\r & \cdots (2) \end{cases}$
が成り立つとき, 次を得る.
\[\eq{ 2\l \n_XY,Z\r = & X\l Y,Z\r +Y\l X,Z \r - Z\l X,Y\r \\ & +\l [X,Y],Z\r - \l [Y,Z],X\r + \l[Z,X],Y\r. }\]

▼ 証明

証明
式 $(2)$ は, 任意の $X,Y,Z\in \mathfrak{X}(M)$ で成り立つので, 次の２式も成り立つ.
\[ Y\l X,Z\r = \l\n_Y X,Z \r + \l X,\n_Y Z\r \ \ \ \cdots (3) \] \[ Z\l X,Y\r = \l\n_Z X,Y \r + \l X,\n_Z Y\r \ \ \ \cdots (4) \] 次に, $(2)+(3)-(4)$ をすると, その右辺は \[\eq{ \te{(右辺)} & = 2\l \n_X Y,Z\r + \l \n_Y X- \n_X Y,Z\r \\ & \ \ \ \ \ + \l \n_X Z -\n_Z X, Y\r + \l X, \n_Y Z-\n_Z Y\r \\ & \xeq{*1}2\l \n_X Y,Z\r + \l [Y,X], Z \r + \l [X,Z],Y\r + \l X, [Y,Z] \r \\ & \xeq{*2}2\l \n_X Y,Z\r - \l [X,Y], Z \r - \l [Z,X],Y\r + \l [Y,Z], X \r. }\] 従って, 両辺をいくつか移項すると, コシュールの公式が得られる.

$(*1)$ 式(1)を用いた.
$(*2)$ $[X,Y]=-[Y,X]$ を用いた.

▼ $\G_{ij}^k=\dfrac{1}{2}g^{kl}(\d_i g_{jl}+\d_j g_{il}-\d_l g_{ij})$

方針
コシュールの公式:
$\ \ \ 2\l \n_XY,Z\r =X\l Y,Z\r +Y\l X,Z \r - Z\l X,Y\r$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\l [X,Y],Z\r - \l [Y,Z],X\r + \l[Z,X],Y\r$
に, $X=\d_i,\ Y=\d_j,\ Z=\d_l$ を代入して計算すると得られる.
しかし, その計算が少しややこしい.

証明
$X=\d_i,\ Y=\d_j,\ Z=\d_l$ とする.
ベクトル場の定義より, $[\d_i, \d_j]=0$ なので,
$\l [X,Y], Z\r = \l [Y,Z],X \r = \l [Z,X],Y \r =0.$
クリストッフェル記号の定義より, $\n_X Y=\G_{ij}^k \d_k.$ 従って,
$\l \n_X Y, Z \r = \l \G_{ij}^k\d_k, \d_l\r =\G_{ij}^k \l \d_k,\d_l\r =\G_{ij}^k g_{kl}.$
以上の結果をまとめると, コシュールの公式から次を得る.
$2\G_{ij}^k g_{kl}=\d_i g_{jl} + \d_j g_{il}-\d_l g_{ij} \ \ \ \cdots (*)$
ここで, $g^{kl}$ を 行列 $(g_{kl})$ の逆行列の $(k,l)$ 成分としよう.
そして, 行列の計算をすることによって, 次式を得る.
$\G_{ij}^k=\dfrac{1}{2}g^{kl}(\d_i g_{jl}+\d_j g_{il}-\d_l g_{ij}).$

※この公式はリッチテンソルの計算をするときに必要になる.
補足
証明最後の行列計算につまずく人がいると思うので, ２次元の場合で説明する.
$(*)$ に関して, $l=1,2$ の場合を書くと,
$2\G_{ij}^1 g_{11} + 2\G_{ij}^2 g_{21} = \d_i g_{j1}+\d_j g_{i1} -\d_1 g_{ij},$
$2\G_{ij}^1 g_{12} + 2\G_{ij}^2 g_{22} = \d_i g_{j2}+\d_j g_{i2} -\d_2 g_{ij}.$
これらを行列で表すと,
$\begin{equation} \begin{pmatrix} g_{11} & g_{21} \\ g_{12} & g_{22} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\G_{ij}^1 \\ 2\G_{ij}^2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \d_i g_{j1}+\d_j g_{i1} -\d_1 g_{ij} \\ \d_i g_{j2}+\d_j g_{i2} -\d_2 g_{ij} \\ \end{pmatrix}. \end{equation}$
上式に, $\begin{equation} \begin{pmatrix} g^{11} & g^{21} \\ g^{12} & g^{22} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ を左からかけると,
$\begin{equation} \begin{pmatrix} 2\G_{ij}^1 \\ 2\G_{ij}^2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g^{11} & g^{21} \\ g^{12} & g^{22} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \d_i g_{j1}+\d_j g_{i1} -\d_1 g_{ij} \\ \d_i g_{j2}+\d_j g_{i2} -\d_2 g_{ij} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$
($(g_{ij})$ は対称行列であり, その逆行列 $(g^{ij})$ も対称行列である. 従って, $g^{ij}=g^{ji}.$ これにより,)
$\begin{equation} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \begin{pmatrix} g^{11} & g^{12} \\ g^{21} & g^{22} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \d_i g_{j1}+\d_j g_{i1} -\d_1 g_{ij} \\ \d_i g_{j2}+\d_j g_{i2} -\d_2 g_{ij} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$
$\begin{equation} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \begin{pmatrix} g^{1l} \d_i g_{j1}+\d_j g_{i1} -\d_1 g_{ij} \\ g^{2l} \d_i g_{j2}+\d_j g_{i2} -\d_2 g_{ij} \\ \end{pmatrix}. \end{equation}$
よって,
$\G_{ij}^k=\dfrac{1}{2}g^{kl}(\d_i g_{jl}+\d_j g_{il}-\d_l g_{ij}).$

▼ $\ R_{ijk}^{\ \ \ \ \ l}=\d_i\G_{jk}^l-\d_j\G_{ik}^l+\G_{jk}^m \G_{im}^l-\G_{ik}^m\G_{jm}^l$

証明
リーマン曲率テンソル: $\ \ \ R(X,Y)=\n_X\n_Y - \n_Y\n_X - \n_{[X,Y]}$
に $X=\d_i,\ Y=\d_j$ を代入して計算すると,
$R_{ijk}^{\ \ \ \ \ l}\d_l =R(\d_i,\d_j)\d_k$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \n_{\d_i}\n_{\d_j}\d_k -\n_{\d_j}\n_{\d_i}\d_k$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \n_{\d_i}(\G_{jk}^m\d_m) -\n_{\d_j}(\G_{ik}^m\d_m)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (\d_i\G_{jk}^m)\d_m +\G_{jk}^m(\n_{\d_i}\d_m) - (\d_j\G_{ik}^m)\d_m -\G_{ik}^m(\n_{\d_j}\d_m)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (\d_i\G_{jk}^l)\d_l +\G_{jk}^m\G_{im}^l\d_l - (\d_j\G_{ik}^l)\d_l -\G_{ik}^m\G_{jm}^l\d_l$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(\d_i\G_{jk}^l - \d_j\G_{ik}^l + \G_{jk}^m\G_{im}^l - \G_{ik}^m\G_{jm}^l)\d_l.$

※$[\d_i,\d_j]=0$ より, $\n_{[\d_i,\d_j]}=0.$
※$R_{ijk}^{\ \ \ \ \ l}$ はスカラー.
※$R(\d_i,\d_j)\d_k=R_{ijk}^{\ \ \ \ \ l}\d_l.$

▼ $R_{ij}=R_{hij}^{\ \ \ \ \ \ h}$

証明
復習
$R_{ij}=\mathrm{Ric}(\d_i,\d_j),$
$\mathrm{Ric}(\d_i,\d_j)=\mathrm{tr}(Z\mapsto R(Z,\d_i)\d_j)$
$R(\d_i,\d_j)\d_k=R_{ijk}^{\ \ \ \ \ l}\d_l,$
であることを思い出そう.

証明
線形写像 $\ \ \ Z\mapsto R(Z,\d_i)\d_j$ の表現行列 $A$ を求める.
ただし, 多様体の次元を $n$ とし, $\d_1,\cdots \d_n$ を基底とする.
$\d_h \mapsto R(\d_h,\d_i)\d_j =R_{hij}^{\ \ \ \ \ \ k}\d_k$ より,
$\begin{equation} A= \begin{pmatrix} R_{1ij}^{\ \ \ \ \ 1} & \cdots & R_{nij}^{\ \ \ \ \ 1} \\ \vdots & & \vdots \\ R_{1ij}^{\ \ \ \ \ n} & \cdots & R_{nij}^{\ \ \ \ \ n} \end{pmatrix}. \end{equation}$
従って, $\mathrm{tr}(A)=R_{hij}^h.$
よって, $R_{ij}=R_{hij}^{\ \ \ \ \ \ h}.$

▼ $R(X,Y) = -R(Y,X)$

証明
$R(X,Y)Z=\n_X\n_Y Z -\n_Y\n_X Z -\n_{[X,Y]} Z$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-(\n_Y\n_X Z -\n_X\n_Y Z -\n_{[Y,X]}Z)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-R(Y,X)Z.$
$\ \ \ \therefore R(X,Y) = -R(Y,X).$

▼ $R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$

証明
$\n_X Y - \n_Y X =[X,Y]$ を使って計算していく.

$\ \ \ \ R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y$
$= (\n_X\n_Y Z - \n_Y\n_X Z - \n_{[X,Y]} Z)$
$\ \ \ \ \ \ + (\n_Y\n_Z X - \n_Z\n_Y X - \n_{[Y,Z]} X)$
$\ \ \ \ \ \ + (\n_Z\n_X Y - \n_X\n_Z Y - \n_{[Z,X]} Y)$
$=\n_X [Y,Z] + \n_Z [X,Y] + \n_Y [Z,X]$
$\ \ \ \ \ \ - \n_{[Y,Z]} X - \n_{[X,Y]} Z - \n_{[Z,X]} Y$
$= [X,[Y,Z]] + [Z,[X,Y]] + [Y,[Z,X]]$
$=0.$
(最後の計算は ベクトル場のブラケットの性質を用いた.)

補足
上の計算が わからない人は, 以下の計算を参考してほしい.
$\n_X\n_Y Z - \n_X\n_Z Y = \n_X(\n_Y Z - \n_Z Y)=\n_X [Y,Z],$
$\n_X [Y,Z] - \n_{[Y,Z]} X = [X,[Y,Z]].$

上の公式を第１ビアンキの公式と呼ぶ.

▼ $\l R(X,Y)Z,W \r = - \l R(X,Y)W,Z \r$

証明
公式を示すには, 任意の $X,Y,U\in \mathfrak{X}(M)$ に対して, $\l R(X,Y)U,U \r =0$ を示せばよい.
(実際, $U=Z+W$ を上式に代入して展開すれば, 公式が得られる.)
$\l R(X,Y)U,U \r =0$ を示すために, いくつか準備をする.

公式:
$\ \ \ X\l Y, Z \r =\l\n_X Y,Z\r +\l Y,\n_X Z\r \ \ \ \cdots (*)$
に対して, $X=X,\ Y=\n_Y U,\ Z=U$ を代入すれば,
$\ \ \ X\l\n_Y U, U\r =\l\n_X\n_Y U, U\r +\l \n_Y U, \n_X U\r \ \ \ \cdots (1)$
$X$ と $Y$ を入れ替えると,
$\ \ \ Y\l\n_X U, U\r =\l\n_Y\n_X U, U\r +\l \n_X U, \n_Y U\r \ \ \ \cdots (2)$
$(1)-(2)$ より,
$\ \ \ X\l\n_Y U, U\r -Y\l\n_X U, U\r =\l\n_X\n_Y U, U\r -\l\n_Y\n_X U, U\r \ \ \ \cdots (3)$
また, $(*)$ に対して,
$X=Y,\ Y=U,\ Z=U$ を代入すれば,
$\ \ \ Y\l U, U \r = 2\l\n_Y U, U\r \ \ \ \cdots (4)$
同様に,
$\ \ \ X\l U, U \r = 2\l\n_X U, U\r \ \ \ \cdots (5)$
$\ \ \ [X, Y]\l U, U \r = 2\l\n_{[X, Y]} U, U\r \ \ \ \cdots (6)$
が成り立つ.

これで準備が整った. $(3)\sim (6)$ より,
$\ \ \ \ \l R(X,Y)U,U \r$
$=\l\n_X\n_Y U, U\r -\l\n_Y\n_X U, U\r - \l\n_{[X, Y]} U, U\r$
$=X\l\n_Y U, U\r -Y\l\n_X U, U\r - \l\n_{[X, Y]} U, U\r$
$=\dfrac{1}{2}(XY\l U, U\r -YX\l U, U\r -[X, Y]\l U, U\r)$
$=0.$
よって,
$\ \ \ \l R(X,Y)Z,W \r = - \l R(X,Y)W,Z \r .$

▼ $\l R(X,Y)Z,W \r = \l R(Z,W)X,Y \r$

証明
証明には次の３つの公式を用いる.
$\ \ \ R(X,Y)=-R(Y,X) \ \ \ \cdots (*1)$
$R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0 \ \ \ \cdots (*2)$
$\l R(X,Y)Z,W \r = - \l R(X,Y)W,Z \r \ \ \ \cdots (*3)$

$\ \ \ \ \l R(X,Y)Z,W \r$
$=-\l R(Y,Z)X,W\r -\l R(Z,X)Y,W\r\ \ \ (\because (*2))$
$=\l R(Y,Z)W,X\r +\l R(Z,X)W,Y\r \ \ \ (\because (*3))$
$=-\l R(Z,W)Y,X\r -\l R(W,Y)Z,X\r$
$\ \ \ \ -\l R(X,W)Z,Y\r - \l R(W,Z)X,Y\r\ \ \ (\because (*2))$
$= 2\l R(Z,W)X, Y\r +\l R(W,Y)X,Z\r +\l R(X,W)Y,Z\r\ \ \ (\because (*1)(*3))$
$= 2\l R(Z,W)X, Y\r +\l R(Y,X)W,Z\r\ \ \ (\because (*2))$
$= 2\l R(Z,W)X, Y\r +\l R(X,Y)Z,W\r\ \ \ (\because (*1)(*3))$
$\ \ \ \therefore\l R(X,Y)Z,W \r = \l R(Z,W)X,Y \r .$

▼ $R_{ijkl}=-R_{ijlk}$

証明
公式:
$\ \ \ \l R(X,Y)Z,W \r = - \l R(X,Y)W,Z \r$
に $X=\d_i,\ Y=\d_j,\ Z=\d_k,\ W=\d_l$ を代入すればよい.

▼ $R_{ijkl}=R_{klij}$

証明
公式:
$\l R(X,Y)Z,W \r = \l R(Z,W)X,Y \r$
に $X=\d_i,\ Y=\d_j,\ Z=\d_k,\ W=\d_l$ を代入すればよい.

▼ $R_{ijk}^{\ \ \ \ \ l}+R_{jki}^{\ \ \ \ \ l}+R_{kij}^{\ \ \ \ \ l}= 0$

証明
公式:
$\ \ \ R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$
に $X=\d_i,\ Y=\d_j,\ Z=\d_k$ を代入すればよい.

▼ $R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0$

証明
$R_{ijk}^{\ \ \ \ \ m} + R_{jki}^{\ \ \ \ \ m} + R_{kij}^{\ \ \ \ \ m}= 0$ の両辺に $g_{lm}$ をかけると,
$\ \ \ R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0$
となる.

▼ $\Gamma_{ij}^k dx^i=\o_j^k$

証明
$\n_{\d_i}\d_j=\G_{ij}^k\d_k$ より,
$\n \d_j=\G_{ij}^k dx^i \otimes \d_k.$
また, $\o_j^k$ の定義より, $\n\d_j=\o_j^k\d_k$ である.
よって, $\G_{ij}^k dx^i=\o_j^k.$

▼ $R_{ij}=R_{hijk}g^{kh}$

証明
$R_{hijk}g^{kh}=\l R(\d_h,\d_i)\d_j,\ \d_k \r g^{kh}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \l R_{hij}^{\ \ \ \ \ m}\d_m,\ \d_k \r g^{kh}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = R_{hij}^{\ \ \ \ \ m}g_{mk} g^{kh}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = R_{hij}^{\ \ \ \ \ m}\delta_m^h$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = R_{hij}^{\ \ \ \ \ h}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = R_{ij}.$
ここで, $\delta_m^h$ はクロネッカーのデルタを表す.
また, 最後の計算は, 公式 $R_{ij}=R_{hij}^{\ \ \ \ \ h}$ を用いた.

▼ $R_{ij}=R_{ji}$

証明
公式:
$R_{ij}=R_{hijk}g^{hk},$
$R_{ijkl}=R_{klij}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}$
より,
$R_{ij}=R_{hijk}g^{hk}=R_{jkhi}g^{hk} =R_{kjih}g^{hk}=R_{kjih}g^{kh}=R_{ji}.$
よって,
$R_{ij}=R_{ji}.$

これで, リッチテンソル $R_{ij}$ が対称であることを示せた.

▼ $\n_XY-\n_YX=[X,Y] \iff \G_{ij}^k=\G_{ji}^k$

証明
$\n_XY-\n_YX=[X,Y]$ が成り立つとする.
このとき, $[\d_i,\d_j]=0$ より,
$\n_{\d_i}\d_j-\n_{\d_j}\d_i=0.$
上式より, $(\G_{ij}^k-\G_{ji}^k)\d_k=0.$
よって, $\G_{ij}^k=\G_{ji}^k.$

逆に $\G_{ij}^k=\G_{ji}^k$ が成り立つとする.
$X=X^i\d_i, Y=Y^j\d_i$ とする. ($X^i,Y^j$ は $M$ 上の $C^{\infty}$ 級関数.)

$\ \ \ \ \n_XY$
$=\n_{X^i\d_i}Y$
$=X^i\n_{\d_i}Y$
$=X^i\n_{\d_i}(Y^j\d_j)$
$=X^i((\d_iY^j)\d_j+Y^j\n_{\d_i}\d_j)$
$=X^i(\d_iY^j)\d_j+X^iY^j(\n_{\d_i}\d_j)$
$=X^i(\d_iY^j)\d_j+X^iY^j\G_{ij}^k \d_k.$

$\n_YX$ も $\n_XY$ と同様の計算をする.
$\n_YX$
$=\n_{Y^j\d_j}X$
$=Y^j\n_{\d_j}X$
$=Y^j\n_{\d_j}(X^i\d_i)$
$=Y^j((\d_jX^i)\d_i+X^i\n_{\d_j}\d_i)$
$=Y^j(\d_jX^i)\d_i+Y^jX^i\n_{\d_j}\d_i)$
$=Y^j(\d_jX^i)\d_i+Y^jX^i\G_{ij}^k \d_k.$

以上の計算結果と, $X^iY^j=Y^jX^i,$ $\G_{ij}^k=\G_{jk}^k$ より,
$\n_XY-\n_YX=X^i(\d_iY^j)\d_j-Y^j(\d_jX^i)\d_i$$\ \ \cdots(*).$

一方で, $f:M\to \R$ を $C^{\infty}$ 級関数として, $f_j:=\d_jf, f_{ij}=\d_i\d_jf$ とおく.
$X(Yf)=X^i\d_i(Y^j\d_jf)$
$=X^i\d_i(Y^jf_j)$
$=X^i(\d_iY^j)f_j+X^iY^jf_{ij}.$

$Y(Xf)=Y^j\d_j(X^i\d_if)$
$=Y^j\d_j(X^if_i)$
$=Y^j(\d_jX^i)f_i+Y^jX^if_{ji}.$

$X^iY^j=Y^jX^i, f_{ij}=f_{ji}$ より,
$X(Yf)=Y(Xf)=X^i(\d_iY^j)f_j-Y^j(\d_jX^i)f_i.$
従って, $XY-YX=X^i(\d_iY^j)\d_j-Y^j(\d_jX^i)\d_i\ \ \cdots (**).$
$(*)$ と $(**)$ より, $\n_XY-\n_YX=[X,Y].$

▼ $\def\p{\varphi}$ $dx^2+dy^2+dz^2=dr^2+r^2d\t^2+r^2\sin^2\t \ d\p^2$

証明
$x=r\sin\t\cos\p,$
$y=r\sin\t\sin\p,$
$z=r\cos\t.$
なので,
$dx=\f{\d x}{\d r}dr +\f{\d x}{\d \t}d\t+\f{\d x}{\d \p}d\p$ より,
$dx=\sin\t\cos\p\ dr + r\cos\t\cos\p \ d\t - r\sin\t\sin\p \ d\p,$
$dy=\sin\t\sin\p\ dr + r\cos\t\sin\p \ d\t + r\sin\t\cos\p \ d\p,$
$dz=\cos\t \ dr - r\sin\t \ d\t.$

次に,
$dx^2=dx\otimes dx,$
$\ 2drd\t=dr\otimes d\t + d\t \otimes dr$
であることに注意した上で, $dx^2, dy^2, dz^2$ を計算していくと,

$dx^2=\sin^2\t\cos^2\p\ dr^2 + r^2\cos^2\t\cos^2\p\ d\t^2 + r^2\sin^2\t\sin^2\p\ d\p^2$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 2r\sin\t\cos\t\cos^2\p\ drd\t - 2r^2\sin\t\cos\t\sin\p\cos\p\ d\t d\p$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - 2r\sin^2\t\sin\p\cos\p\ d\p dr.$
$dy^2=\sin^2\t\sin^2\p\ dr^2 + r^2\cos^2\t\sin^2\p\ d\t^2
+ r^2\sin^2\t\cos^2\p\ d\p^2$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 2r\sin\t\cos\t\sin^2\p\ dr d\t +2r^2\sin\t\cos\t\sin\p\cos\p\ d\t d\p$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2r\sin^2\t\sin\p\cos\p\ d\p dr.$
$dz^2= \cos^2\t\ dr^2 +r^2\sin^2\t\ d\t^2 -2r\sin\t\cos\t\ dr d\t.$

これにより,
$\ \ \ (dx^2+dy^2)+dz^2$
$ = (\sin^2\t\ dr^2 + r^2\cos^2\t\ d\t^2 +r^2\sin^2\t\ d\p^2 +2r\sin\t\cos\t\ dr d\t) + dz^2$
$ = dr^2+r^2d\t^2+r^2\sin^2\t \ d\p^2.$

定理
$(M,g)$ を２次元リーマン多様体とし, $S$ をスカラー曲率,
$K_{\sigma}$ をガウス曲率(断面曲率)とする.
このとき,
$\ \ \ S=2K_{\sigma}.$

▼ $S=2K_{\sigma}$ の証明

証明
公式 $R_{ij}=R_{hijk}g^{hk}$ を使うと,
$S=g^{ij}R_{ij}=g^{ij}g^{hk}R_{hijk}$
$\ \ = g^{21}g^{12}R_{1212}+g^{22}g^{11}R_{1221} +g^{11}g^{22}R_{2112}+g^{12}g^{21}R_{2121}$
(※ $R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}$ より, 例えば, $R_{1122}=0,\ R_{1112}=0.$)
$\ \ = -2(g^{11}g^{22}-g^{12}g^{21})R_{1212}$
(※ $R_{1212}=R_{2121}=-R_{2112}=-R_{1221}$)
$\ \ = -2(g_{11}g_{22}-g_{12}g_{21})^{-1}R_{1212}$
$\ \ = 2K_{\sigma}.$

補足
正確に言うと, $\forall p\in M,\ S(p)=2K_{\sigma}(p)$ である.
$S$ と $K_{\sigma}$ は $M$ 上の実数値関数と見れることに注意しよう.