変数分離形の例題【微分方程式】

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この記事では、「変数分離形の微分方程式」と「同次形の微分方程式」に関する例題を扱います。

まず、変数分離形の定義を確認しておきます。

定義
$$\begin{array}{}\text{(1)}& y^{\prime }=f(x)g(y)\end{array}$$ の形の方程式を変数分離形の微分方程式という.

この微分方程式を解こう.
まず両辺を $g(y)(\ne 0)$ で割って $$\begin{array}{}\text{(2)}& {\displaystyle \frac{1}{g(y)}}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(x)\end{array}$$ とする. 左辺は, $G(y)={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dy}{g(y)}}}$ を $x$ について微分したものであるから, (2)は $${\displaystyle \frac{d}{dx}}\int {\displaystyle \frac{dy}{g(y)}}=f(x)$$ と書ける. この両辺を $x$ で積分すれば, 一般解 $$\int {\displaystyle \frac{dy}{g(y)}}=\int f(x)dx+C$$ を得る. ここで, $C$ は任意定数である.

$g(y)=0$ を満たす $y_0$ があれば, 定数関数 $$y=y_0$$ も(1)の解であることは(1)の両辺が０に等しいことからすぐにわかる.

変数分離形の微分方程式

例題
$y^{\prime }=y^2$ の一般解を求めよ.

▼ 解答

[解答]
与えられた方程式を $y^2$ で割って $y^{\prime }/y^2=1$ の形とすると, $${\left({\displaystyle \frac{1}{y}}\right)}^{\prime }=-1$$ となる. これを積分すれば, $C$ を任意定数として $$y={\displaystyle \frac{1}{C-x}}$$ が一般解である.

例題
$x{y}^{\prime }=y^2-1$ の一般解を求めよ.

▼ 解答

[解答]
与えられた方程式を $${\displaystyle \frac{dy}{y^2-1}}={\displaystyle \frac{dx}{x}},$$ すなわち $${\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{y-1}}-{\displaystyle \frac{1}{y+1}})dy={\displaystyle \frac{1}{x}}dx$$ と書いて積分すれば $$\log \left|{\displaystyle \frac{y-1}{y+1}}\right|=2\log |x|+C_1$$ したがって, $${\displaystyle \frac{y-1}{y+1}}=C{x}^2$$ これが一般解である. $y$ について解いた形にすれば $$y={\displaystyle \frac{1+C{x}^2}{1-C{x}^2}}$$ となる.

例題
$y^{\prime }+ay=0$ の一般解を求めよ. ただし, $a$ は定数とする.

▼ 解答

[解答]
微分方程式は $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-ay$$ と書けるから, 両辺を $y$ で割ると $${\displaystyle \frac{1}{y}}\cdot {\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-a$$ この両辺を $x$ で積分すると $$\int {\displaystyle \frac{1}{y}}\cdot {\displaystyle \frac{dy}{dx}}dx=-a\int dx$$ となるが, 左辺は $x$ から $y$ への置換積分の形だから $$\int {\displaystyle \frac{1}{y}}dy=-a\int dx$$ となる. 両辺の不定積分を計算して $$\log |y|=-ax+C(C\text{は任意定数})$$ 上式を $y$ について解くと $$|y|=e^{-ax+C}=e^C{e}^{-ax}$$ $$\therefore y=\pm e^C{e}^{-ax}$$ ここで, $\pm e^C$ は０以外の任意の定数である. 関数 $y=0$ は微分方程式 $(\ast )$ の解の１つなので, $\pm e^C$ を改めて $C$ とおくと $$y=C{e}^{-ax}$$ を得る. これが一般解である.

例題
次の微分方程式を解け. $$y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{x}{y}}$$

▼ 解答

[解答]
微分方程式は $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{x}{y}}$$ と書けるから, $y$ を両辺にかけて積分すると $$\int ydy=-\int xdx+C_1$$ となる. よって, $C=2C_1$ とすると, 一般解 $$x^2+y^2=C$$ を得る. ただし, $C>0$ は任意定数とする.

例題
次の微分方程式の一般解を求めよ. $$y^{\prime }=y\sin x$$

▼ 解答

[解答]
微分方程式は $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=y\sin x$$ と書けるから, 両辺を $y$ で割って積分すると $$\int {\displaystyle \frac{dy}{y}}=\int \sin xdx+C_1$$ $$\log |y|=-cosx+C_1$$ $$\therefore y=C{e}^{-cosx}$$ これが一般解である.

同次形の微分方程式

定義
$f(x,y)$ が $y/x$ の関数となるとき, $$\begin{array}{}\text{(*)}& y^{\prime }=f\left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)\end{array}$$ の形の微分方程式を同次形の微分方程式という.

同次形の微分方程式は, $$y=xu$$ とおけば, $y^{\prime }=x{u}^{\prime }+u$ となるから $(\ast )$ は $$x{u}^{\prime }=f(u)-u$$ と書かれる. これは変数分離形であるから, 一般解 $$\int {\displaystyle \frac{du}{f(u)-u}}=\log |x|+C$$ を得る.

例題
$(x^2+xy)y^{\prime }=y^2$ の一般解を求めよ.

▼ 解答

[解答]
与えられた方程式は $$y^{\prime }={\displaystyle \frac{y^2}{x^2+xy}}={\displaystyle \frac{(y/x{)}^2}{1+(y/x)}}$$ と書けるから同次形である. $y=xu$ とおけば $$x{u}^{\prime }={\displaystyle \frac{-u}{1+u}}.$$ したがって, 変数分離形に変形して $$(1+{\displaystyle \frac{1}{u}})u^{\prime }={\displaystyle \frac{-1}{x}}.$$ 両辺を $x$ で積分すると, $$u+\log |u|=-\log |x|+C$$ ゆえに, 一般解 $$y+x\log |y|=Cx$$ を得る.

【補足】微分方程式の解について

１階常微分方程式について解の求め方を説明する. 与えられた微分方程式に対して, 解が存在するものとして, 方程式の変形, 変数の変換, 代数演算, 不定積分を組み合わせて $x$ と $y$ との間の導関数を含まない関係を導く. こうして任意定数 $C$ を含む $$f(x,y,C)=0$$ なる関係式を得られたとき, 必ずしもこれを $y=\phi (x,C)$ の形にしないで, $f(x,y,C)=0$ をも一般解ということにする.
なお, 任意定数といっても全く任意の定数であるとは限らない. $C$ のとる値がある範囲に限られる場合もある. (例えば, $C\ne 0$ や $C>0$ など.)

また, 一般解を導く途中の計算は形式的に行う. 例えば, 微分方程式の両辺を $y$ で割るときに $y\ne 0$ とするとか, $\sqrt{y}$ を考えるとき $y\ge 0$ とするとか, $\log x$ では $x>0$ とするなど, そのようなことは逐一ことわらない. ここで述べるのは解があるとして, その形を見いだす方法で, 真に解であることは得られた結果から検証によって確かめられることだからである.