【偏微分】シュワルツの定理【証明と反例】

関数 $f(x,y)$ の二階偏導関数 $f_{xy},\ f_{yx}$ が存在するとき, 両者が一致するとは限りません。
一致するための条件を述べた定理として, シュワルツの定理が有名です。

この記事では, シュワルツの定理(Schwarz theorem)を証明します。

シュワルツの定理の証明

定理
ある領域 $D$ において関数 $f(x,y)$ の偏導関数 $f_x(x,y),\ f_y(x,y),\ f_{xy}(x,y)$ が存在して, $f_{xy}(x,y)$ が連続ならば, 偏導関数 $f_{yx}(x,y)$ も存在して, $$ f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y). $$

[証明]
$D$ に属する点 $(a,b)$ を任意にとる.
$\v(x,y)=f(x,y)-f(x,b)$ とおく.
十分小さい $h,k$ をとり, $\v(x,b+k)$ に平均値の定理を適用して, $$\eq{ & \v(a+h,b+k)-\v(a,b+k) \\ & \ \ \ =h\v_x(a+\t h,b+k)\ \ \ (0< \t < 1) \\ & \ \ \ = h\Big( f_x(a+\t h,b+k)-f_x(a+\t h,b) \Big) }$$ ここで, $f_x(a+\t h,y)$ に平均値の定理を適用して, $$\eq{ \v(a+h, & b+k) -\v(a,b+k) \\ & =hk f_{xy}(a+\t h,b+\t'k)\ \ \ (0< \t'< 1). \tag{*} }$$ ここで, $$ \lim_{k\to 0}\f{\v(x,b+k)}{k}=f_y(x,b) $$ に注意して, $(*)$ の両辺を $k$ で割って極限 $k\to 0$ をとると, $$ f_y(a+h,b)-f_y(a,b) =h\lim_{k\to 0}f_{xy}(a+\t h,b+\t'k). $$ したがって, 上式の両辺を $h$ で割って極限 $h\to 0$ をとると, $$\eq{ f_{yx}(a,b) & =\lim_{h\to 0}\f{f_y(a+h,b)-f_y(a,b)}{h} \\ & = \lim_{h\to 0}\lim_{k\to 0} f_{xy}(a+\t h,b+\t'k) \\ & =f_{xy}(a,b)\ \ \ (\be f_{xy}\te{は連続}). }$$

定理にある「$f_{xy}(x,y)$ が連続である」という条件は必要である.
この条件を満たさなければ, $f_{xy}(x,y)\neq f_{yx}(x,y)$ となることがある. そのような例を次に述べる.

シュワルツの定理が成り立たない例

例
平面 $\R^2$ 上の関数 $f(x,y)$ を $$ f(x,y)= \begin{cases} xy\f{(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\ \ & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} $$ と定義する. このとき, $$ f_{xy}(0,0) \neq f_{yx}(0,0). $$

[証明]
$$ f_x(0,y) =\lim_{h\to 0}\f{f(h,y)-f(0,y)}{h} =\lim_{h\to 0}\f{y(h^2-y^2)}{h^2+y^2}=-y.$$ $$ \th f_{xy}(0,y)=-1.\ \ \ \th f_{xy}(0,0)=-1. $$ 同様にして,
$$ f_y(x,0) =\lim_{k\to 0}\f{f(x,k)-f(x,0)}{k} =\lim_{k\to 0}\f{x(x^2k^2)}{x^2+k^2}=x.$$ $$ \th f_{yx}(x,0)=1.\ \ \ \th f_{yx}(0,0)=1. $$ よって, $$ f_{xy}(0,0) \neq f_{yx}(0,0). $$

上の例で $f_x,f_y$ の連続性などについて, 詳しいことは[小平 例6.6]を参照せよ.