上極限と下極限の求め方【例題】

$ \def\olim{\displaystyle\varlimsup} \def\ulim{\displaystyle\varliminf} \def\Lim{\lim_{n\to\iy}} $

この記事では, 上極限と下極限の性質を証明した後、数列の上極限・下極限の求め方に関する例題を扱います。

まず、上極限および下極限の定義を確認しておきます。

定義 (下極限)
有界な数列 $\{a_n\}$ が与えられたとして, $$ \a_n=\inf_{k\geq n}a_k $$ とおく. 明らかに $\{\a_n\}$ は単調増大かつ有界な数列である. ゆえに, $\{\a_n\}$ は収束する. その極限 $\lim_{n\to\iy}\a_n$ を 数列 $\{a_n\}$ の下極限(inferior limit)といい, $\ulim_{n\to \iy}a_n$ または $\ds\liminf_{n\to \iy} a_n$ で表す. まとめると, $$ \ulim_{n\to \iy}a_n :=\Lim\le( \inf_{k\geq n}a_k \ri). $$

定義 (上極限)
有界な数列 $\{a_n\}$ が与えられたとして, $$ \b_n=\sup_{k\geq n}a_k $$ とおく. 明らかに $\{\b_n\}$ は単調減少かつ有界な数列である. ゆえに, $\{\b_n\}$ は収束する. その極限 $\lim_{n\to\iy}\b_n$ を 数列 $\{a_n\}$ の上極限(superior limit)といい, $\olim_{n\to \iy}a_n$ または $\ds\limsup_{n\to \iy} a_n$ で表す. 要するに $$ \olim_{n\to \iy}a_n :=\Lim\le( \sup_{k\geq n}a_k \ri). $$

注意 以下, 記号 $\olim_{n\to\iy}$ および $\ulim_{n\to\iy}$ をそれぞれ $\olim,\ \ulim$ と略記することがあります。

例
$\olim_{n\to\iy}{(-1)}^n=1,\ \ $ $\ulim_{n\to\iy}{(-1)}^n=-1.$

▼ 証明

[証明]
$a_n=(-1)^n$ とおくと, $$ \sup_{k\geq n} a_n =1,\ \ \ \inf_{k\geq n}a_n=-1 $$ より, $$ \olim_{n\to\iy}{(-1)}^n=1,\ \ \ \ulim_{n\to\iy}{(-1)}^n=-1. $$

性質

定理
$\{a_n\}$ を実数列とする. このとき, $$\eq{ & \liminf_{n\to \iy} a_n =\sup_{n\geq 1} \le( \inf_{k\geq n}a_k \ri ) \\ & \limsup_{n\to \iy} a_n =\inf_{n\geq 1} \le( \sup_{k\geq n}a_k \ri ) }$$

▼ 証明

[証明]
数列 $\ds\a_n:=\inf_{k\geq n}a_k$ は単調増大列であり, 数列 $\ds\b_n:=\sup_{k\geq n}a_k$ は単調減少列であることから明らか.

不等式

定理
$\{a_n\},\ \{b_n\}$ を数列とするとき,
$\te{(i)}\ \ \olim(a_n+b_n) \leq \olim a_n+\olim b_n $
$\te{(ii)}\ \ulim (a_n+b_n) \geq \ulim a_n+\ulim b_n$
$\te{(iii)}\ \ \ \ \ \olim(a_nb_n) \leq \olim a_n \olim b_n $
$\te{(iv)}\ \ \ \ \ \ulim(a_nb_n) \geq \olim a_n \olim b_n $

▼ 証明

[証明]
任意の $n\in \N$ に対して, $$\eq{ \sup_{k\geq n}(a_k+b_k) & \leq \sup_{k\geq n}a_n + \sup_{k\geq n}b_n \\ \inf_{k\geq n}(a_k+b_k) & \geq \inf_{k\geq n}a_n + \inf_{k\geq n}b_n \\ \sup_{k\geq n}(a_k b_k) & \leq \sup_{k\geq n}a_n \sup_{k\geq n}b_n \\ \inf_{k\geq n}(a_k b_k) & \geq \inf_{k\geq n}a_n \inf_{k\geq n}b_n }$$ が成り立つ（参照：上限と下限(supとinf)【例題】）ことと, $$\eq{ \lim_{n\to \iy}(a_n+b_n) & =\Lim a_n +\Lim b_n \\ \Lim (a_n b_n) & =\Lim a_n \Lim b_n }$$ により定理の主張が示される.

上の不等式について等号が成立しない例を紹介する.

例
$a_n=(-1)^n,\ b_n=(-1)^{n+1}$ とすると, $$\eq{ & \olim(a_n+b_n)=\ulim(a_n+b_n)=0, \\ & \olim(a_nb_n)=\ulim(a_nb_n)=-1, \\ & \olim a_n=\olim b_n =1, \\ & \ulim a_n=\ulim b_n =-1 }$$ である. したがって, 上の定理の不等式(i),(ii),(iii) は等号が成り立たない.

定理
$\{a_n\}$ を実数列とする. $\a:=\ulim a_n$ は次の性質を持つ. 任意の $\e>0$ に対して,
(i) $a_n\leq \a-\e$ となる項 $a_n$ は高々有限個しかない.
(ii) $a_n < \a +\e$ となる項 $a_n$ は無数にある.

$\b:=\olim a_n$ は次の性質を持つ. 任意の $\e>0$ に対して,
(i) $a_n\geq \b+\e$ となる項 $a_n$ は高々有限個しかない.
(ii) $a_n > \b -\e$ となる項 $a_n$ は無数にある.

[証明]
[小平 $\S$1.5 c)]参照.

上極限と下極限が一致 $\iff$ 数列が収束

定理
数列 $\{a_n\}$ の上極限と下極限が一致する必要十分条件は 数列 $\{a_n\}$ が収束することである.

▼ 証明

[証明]
$$ \a_n=\inf_{k\geq n}a_k,\ \ \ \ \ \b_n=\sup_{k\geq n}a_k $$ とおく.

上極限と下極限が一致しているとして, $$ a=\olim a_n =\ulim a_n $$ とする. $\{\a_n\}$ は単調増大で, $\Lim \a_n=a$ を満たす数列なので, $a$ は $\a_n$ の上限である. ゆえに, ある $N_1\in\N$ が存在して, $$ n\geq N_1 \te{のとき}\ \ \ \ \ a-\e < \a_n \leq a_n $$ が成り立つ. 一方 $\{\b_n\}$ は単調減少で, $\Lim \b_n=a$ を満たす数列なので, $a$ は $\b_n$ の下限である. ゆえに, ある $N_2\in\N$ が存在して, $$ n\geq N_2 \te{のとき}\ \ \ \ \ a_n \leq \b_n < a+\e $$ が成り立つ. $N=\max\{N_1,N_2\}$ とすると, $$ n\geq N \te{のとき}\ \ \ \ \ a-\e < a_n < a+\e $$ すなわち, $$ n\geq N \te{のとき}\ \ \ \ \ |a_n-a|<\e. $$ よって, 数列 $\{a_n\}$ は $a$ に収束する.

逆に, 数列 $\{a_n\}$ が $a$ に収束するとしよう.
まず, $\e>0$ を任意にとる. $\e/2$ に対して, ある $N$ が存在して, $$ n\geq N \te{のとき}\ \ \ \ \ a-\e/2 < a_n < a+ \e/2 $$ となる. したがって, $$ n\geq N \te{のとき}\ \ \ \ \ a-\e/2 \leq \a_n \leq \b_n \leq a+ \e/2. $$ ゆえに $$ n\geq N \te{のとき}\ \ \ \ \ |\a_n-a|<\e,\ \ \ |\b_n-a|<\e. $$ よって, $$ a=\olim a_n =\ulim a_n. $$

例題

上極限と下極限の求め方

数列 $\{a_n\}$ の上極限と下極限を求めるには, それぞれ $\ds \sup_{k\geq n} a_n$ と $\ds \inf_{k\geq n} a_n$ を求めればよい.

問題
数列 $a_n=\cos(n\pi/3)$ の上極限と下極限を求めよ.

▼ 解答

[解答]
数列 $a_n$ の値は周期的に $1,\ \tf{1}{2},\ -\tf{1}{2},\ -1,\ -\tf{1}{2},\ \tf{1}{2}$ をとりうるので, $$ \sup_{k\geq n} a_n =1,\ \ \ \inf_{k\geq n}a_n=-1. $$ ゆえに, $$ \olim a_n=1,\ \ \ \ulim a_n=-1. $$

問題
数列 $\{a_n\}$ を $$ a_n=\case{ \tf{1}{n} & \te{$n$ が奇数のとき} \\ -1 & \te{$n$ が偶数のとき} } $$ と定める. このとき, $\{a_n\}$ の上極限と下極限を求めよ.

▼ 解答

[解答]
$\a_n:=\ds\inf_{k\geq n}a_k=-1$ より, $\{a_n\}$ の下極限は $$ \ulim a_n=\lim_{n\to\iy}\a_n =-1 $$ である. $$ \b_n:=\sup_{k\geq n}a_k =\case{ \tf{1}{n} & \te{$n$ が奇数のとき} \\ \tf{1}{n+1} & \te{$n$ が偶数のとき} } $$ より, $\{a_n\}$ の上極限は $$ \olim a_n=\lim_{n\to\iy}\b_n =0 $$ である.