上極限と下極限の求め方【例題】

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この記事では, 上極限と下極限の性質を証明した後、数列の上極限・下極限の求め方に関する例題を扱います。

まず、上極限および下極限の定義を確認しておきます。

定義 (下極限)
有界な数列 $\{a_n\}$ が与えられたとして, $${\alpha }_n=\underset{k\ge n}{inf}{a}_k$$ とおく. 明らかに $\{{\alpha }_n\}$ は単調増大かつ有界な数列である. ゆえに, $\{{\alpha }_n\}$ は収束する. その極限 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }_n}$ を 数列 $\{a_n\}$ の下極限(inferior limit)といい, ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{a}_n}$ または ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n}$ で表す. まとめると, $${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{a}_n:={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\underset{k\ge n}{inf}{a}_k\right).}}$$

定義 (上極限)
有界な数列 $\{a_n\}$ が与えられたとして, $${\beta }_n=\underset{k\ge n}{sup}{a}_k$$ とおく. 明らかに $\{{\beta }_n\}$ は単調減少かつ有界な数列である. ゆえに, $\{{\beta }_n\}$ は収束する. その極限 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\beta }_n}$ を 数列 $\{a_n\}$ の上極限(superior limit)といい, ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{a}_n}$ または ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n}$ で表す. 要するに $${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{a}_n:={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\underset{k\ge n}{sup}{a}_k\right).}}$$

注意 以下, 記号 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}}$ および ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}}$ をそれぞれ ${\displaystyle \bar{\lim },{\displaystyle \underset{―}{\lim }}}$ と略記することがあります。

例
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{(-1)}^n=1,}$ ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{(-1)}^n=-1.}$

▼ 証明

[証明]
$a_n=(-1{)}^n$ とおくと, $$\underset{k\ge n}{sup}{a}_n=1,\underset{k\ge n}{inf}{a}_n=-1$$ より, $${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{(-1)}^n=1,{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{(-1)}^n=-1.}}$$

性質

定理
$\{a_n\}$ を実数列とする. このとき, $$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=\underset{n\ge 1}{sup}\left(\underset{k\ge n}{inf}{a}_k\right)\\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=\underset{n\ge 1}{inf}\left(\underset{k\ge n}{sup}{a}_k\right)\end{array}$$

▼ 証明

[証明]
数列 ${\displaystyle {\alpha }_n:=\underset{k\ge n}{inf}{a}_k}$ は単調増大列であり, 数列 ${\displaystyle {\beta }_n:=\underset{k\ge n}{sup}{a}_k}$ は単調減少列であることから明らか.

不等式

定理
$\{a_n\},\{b_n\}$ を数列とするとき,
$\text{(i)}{\displaystyle \bar{\lim }(a_n+b_n)\le {\displaystyle \bar{\lim }{a}_n+{\displaystyle \bar{\lim }{b}_n}}}$
$\text{(ii)}{\displaystyle \underset{―}{\lim }(a_n+b_n)\ge {\displaystyle \underset{―}{\lim }{a}_n+{\displaystyle \underset{―}{\lim }{b}_n}}}$
$\text{(iii)}{\displaystyle \bar{\lim }(a_n{b}_n)\le {\displaystyle \bar{\lim }{a}_n{\displaystyle \bar{\lim }{b}_n}}}$
$\text{(iv)}{\displaystyle \underset{―}{\lim }(a_n{b}_n)\ge {\displaystyle \bar{\lim }{a}_n{\displaystyle \bar{\lim }{b}_n}}}$

▼ 証明

[証明]
任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して, $$\begin{array}{rl}\underset{k\ge n}{sup}(a_k+b_k)& \le \underset{k\ge n}{sup}{a}_n+\underset{k\ge n}{sup}{b}_n\\ \underset{k\ge n}{inf}(a_k+b_k)& \ge \underset{k\ge n}{inf}{a}_n+\underset{k\ge n}{inf}{b}_n\\ \underset{k\ge n}{sup}(a_k{b}_k)& \le \underset{k\ge n}{sup}{a}_n\underset{k\ge n}{sup}{b}_n\\ \underset{k\ge n}{inf}(a_k{b}_k)& \ge \underset{k\ge n}{inf}{a}_n\underset{k\ge n}{inf}{b}_n\end{array}$$ が成り立つ（参照：上限と下限(supとinf)【例題】）ことと, $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n+b_n)}& ={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n+{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n}}\\ {\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n{b}_n)}& ={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n}}\end{array}$$ により定理の主張が示される.

上の不等式について等号が成立しない例を紹介する.

例
$a_n=(-1{)}^n,b_n=(-1{)}^{n+1}$ とすると, $$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \bar{\lim }(a_n+b_n)={\displaystyle \underset{―}{\lim }(a_n+b_n)=0,}}\\ & {\displaystyle \bar{\lim }(a_n{b}_n)={\displaystyle \underset{―}{\lim }(a_n{b}_n)=-1,}}\\ & {\displaystyle \bar{\lim }{a}_n={\displaystyle \bar{\lim }{b}_n=1,}}\\ & {\displaystyle \underset{―}{\lim }{a}_n={\displaystyle \underset{―}{\lim }{b}_n=-1}}\end{array}$$ である. したがって, 上の定理の不等式(i),(ii),(iii) は等号が成り立たない.

定理
$\{a_n\}$ を実数列とする. $\alpha :={\displaystyle \underset{―}{\lim }{a}_n}$ は次の性質を持つ. 任意の $\epsilon >0$ に対して,
(i) $a_n\le \alpha -\epsilon$ となる項 $a_n$ は高々有限個しかない.
(ii) $a_n<\alpha +\epsilon$ となる項 $a_n$ は無数にある.

$\beta :={\displaystyle \bar{\lim }{a}_n}$ は次の性質を持つ. 任意の $\epsilon >0$ に対して,
(i) $a_n\ge \beta +\epsilon$ となる項 $a_n$ は高々有限個しかない.
(ii) $a_n>\beta -\epsilon$ となる項 $a_n$ は無数にある.

[証明]
[小平 $\mathrm{\S }$1.5 c)]参照.

上極限と下極限が一致 $⟺$ 数列が収束

定理
数列 $\{a_n\}$ の上極限と下極限が一致する必要十分条件は 数列 $\{a_n\}$ が収束することである.

▼ 証明

[証明]
$${\alpha }_n=\underset{k\ge n}{inf}{a}_k,{\beta }_n=\underset{k\ge n}{sup}{a}_k$$ とおく.

上極限と下極限が一致しているとして, $$a={\displaystyle \bar{\lim }{a}_n={\displaystyle \underset{―}{\lim }{a}_n}}$$ とする. $\{{\alpha }_n\}$ は単調増大で, ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }_n=a}$ を満たす数列なので, $a$ は ${\alpha }_n$ の上限である. ゆえに, ある $N_1\in \mathbb{N}$ が存在して, $$n\ge N_1\text{のとき}a-\epsilon <{\alpha }_n\le a_n$$ が成り立つ. 一方 $\{{\beta }_n\}$ は単調減少で, ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\beta }_n=a}$ を満たす数列なので, $a$ は ${\beta }_n$ の下限である. ゆえに, ある $N_2\in \mathbb{N}$ が存在して, $$n\ge N_2\text{のとき}{a}_n\le {\beta }_n<a+\epsilon$$ が成り立つ. $N=max\{N_1,N_2\}$ とすると, $$n\ge N\text{のとき}a-\epsilon <a_n<a+\epsilon$$ すなわち, $$n\ge N\text{のとき}|a_n-a|<\epsilon .$$ よって, 数列 $\{a_n\}$ は $a$ に収束する.

逆に, 数列 $\{a_n\}$ が $a$ に収束するとしよう.
まず, $\epsilon >0$ を任意にとる. $\epsilon /2$ に対して, ある $N$ が存在して, $$n\ge N\text{のとき}a-\epsilon /2<a_n<a+\epsilon /2$$ となる. したがって, $$n\ge N\text{のとき}a-\epsilon /2\le {\alpha }_n\le {\beta }_n\le a+\epsilon /2.$$ ゆえに $$n\ge N\text{のとき}|{\alpha }_n-a|<\epsilon ,|{\beta }_n-a|<\epsilon .$$ よって, $$a={\displaystyle \bar{\lim }{a}_n={\displaystyle \underset{―}{\lim }{a}_n.}}$$

例題

上極限と下極限の求め方

数列 $\{a_n\}$ の上極限と下極限を求めるには, それぞれ ${\displaystyle \underset{k\ge n}{sup}{a}_n}$ と ${\displaystyle \underset{k\ge n}{inf}{a}_n}$ を求めればよい.

問題
数列 $a_n=\cos (n\pi /3)$ の上極限と下極限を求めよ.

▼ 解答

[解答]
数列 $a_n$ の値は周期的に $1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$ をとりうるので, $$\underset{k\ge n}{sup}{a}_n=1,\underset{k\ge n}{inf}{a}_n=-1.$$ ゆえに, $${\displaystyle \bar{\lim }{a}_n=1,{\displaystyle \underset{―}{\lim }{a}_n=-1.}}$$

問題
数列 $\{a_n\}$ を $$a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n}& n\text{ が奇数のとき}\\ -1& n\text{ が偶数のとき}\end{array}$$ と定める. このとき, $\{a_n\}$ の上極限と下極限を求めよ.

▼ 解答

[解答]
${\alpha }_n:={\displaystyle \underset{k\ge n}{inf}{a}_k=-1}$ より, $\{a_n\}$ の下極限は $${\displaystyle \underset{―}{\lim }{a}_n={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }_n=-1}}$$ である. $${\beta }_n:=\underset{k\ge n}{sup}{a}_k=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n}& n\text{ が奇数のとき}\\ \frac{1}{n+1}& n\text{ が偶数のとき}\end{array}$$ より, $\{a_n\}$ の上極限は $${\displaystyle \bar{\lim }{a}_n={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\beta }_n=0}}$$ である.