Takatani Note

上極限と下極限の求め方【例題】

この記事では, 上極限と下極限の性質を証明した後、数列の上極限・下極限の求め方に関する例題を扱います。

まず、上極限および下極限の定義を確認しておきます。

定義 (下極限)
有界な数列 {an} が与えられたとして, αn=infknak とおく. 明らかに {αn} は単調増大かつ有界な数列である. ゆえに, {αn} は収束する. その極限 limnαn を 数列 {an}下極限(inferior limit)といい, limnan または lim infnan で表す. まとめると, limnan:=limn(infknak).

定義 (上極限)
有界な数列 {an} が与えられたとして, βn=supknak とおく. 明らかに {βn} は単調減少かつ有界な数列である. ゆえに, {βn} は収束する. その極限 limnβn を 数列 {an}上極限(superior limit)といい, limnan または lim supnan で表す. 要するに limnan:=limn(supknak).

注意 以下, 記号 limn および limn をそれぞれ lim, lim と略記することがあります。


limn(1)n=1,   limn(1)n=1.

証明
[証明]
an=(1)n とおくと, supknan=1,   infknan=1 より, limn(1)n=1,   limn(1)n=1.

性質

定理
{an} を実数列とする. このとき, lim infnan=supn1(infknak)lim supnan=infn1(supknak)

証明
[証明]
数列 αn:=infknak は単調増大列であり, 数列 βn:=supknak は単調減少列であることから明らか.

不等式

定理
{an}, {bn} を数列とするとき,
(i)  lim(an+bn)liman+limbn
(ii) lim(an+bn)liman+limbn
(iii)     lim(anbn)limanlimbn
(iv)     lim(anbn)limanlimbn

証明
[証明]
任意の nN に対して, supkn(ak+bk)supknan+supknbninfkn(ak+bk)infknan+infknbnsupkn(akbk)supknansupknbninfkn(akbk)infknaninfknbn が成り立つ(参照:上限と下限(supとinf)【例題】)ことと, limn(an+bn)=limnan+limnbnlimn(anbn)=limnanlimnbn により定理の主張が示される.

上の不等式について等号が成立しない例を紹介する.


an=(1)n, bn=(1)n+1 とすると, lim(an+bn)=lim(an+bn)=0,lim(anbn)=lim(anbn)=1,liman=limbn=1,liman=limbn=1 である. したがって, 上の定理の不等式(i),(ii),(iii) は等号が成り立たない.

定理
{an} を実数列とする. α:=liman は次の性質を持つ. 任意の ε>0 に対して,
(i) anαε となる項 an は高々有限個しかない.
(ii) an<α+ε となる項 an は無数にある.

β:=liman は次の性質を持つ. 任意の ε>0 に対して,
(i) anβ+ε となる項 an は高々有限個しかない.
(ii) an>βε となる項 an は無数にある.

[証明]
[小平 §1.5 c)]参照.

上極限と下極限が一致 数列が収束

定理
数列 {an} の上極限と下極限が一致する必要十分条件は 数列 {an} が収束することである.

証明
[証明]
αn=infknak,     βn=supknak とおく.

上極限と下極限が一致しているとして, a=liman=liman とする. {αn} は単調増大で, limnαn=a を満たす数列なので, aαn の上限である. ゆえに, ある N1N が存在して, nN1のとき     aε<αnan が成り立つ. 一方 {βn} は単調減少で, limnβn=a を満たす数列なので, aβn の下限である. ゆえに, ある N2N が存在して, nN2のとき     anβn<a+ε が成り立つ. N=max{N1,N2} とすると, nNのとき     aε<an<a+ε すなわち, nNのとき     |ana|<ε. よって, 数列 {an}a に収束する.

逆に, 数列 {an}a に収束するとしよう.
まず, ε>0 を任意にとる. ε/2 に対して, ある N が存在して, nNのとき     aε/2<an<a+ε/2 となる. したがって, nNのとき     aε/2αnβna+ε/2. ゆえに nNのとき     |αna|<ε,   |βna|<ε. よって, a=liman=liman.

例題

上極限と下極限の求め方

数列 {an} の上極限と下極限を求めるには, それぞれ supknaninfknan を求めればよい.

問題
数列 an=cos(nπ/3) の上極限と下極限を求めよ.

解答
[解答]
数列 an の値は周期的に 1, 12, 12, 1, 12, 12 をとりうるので, supknan=1,   infknan=1. ゆえに, liman=1,   liman=1.

問題
数列 {an}an={1nn が奇数のとき1n が偶数のとき と定める. このとき, {an} の上極限と下極限を求めよ.

解答
[解答]
αn:=infknak=1 より, {an} の下極限は liman=limnαn=1 である. βn:=supknak={1nn が奇数のとき1n+1n が偶数のとき より, {an} の上極限は liman=limnβn=0 である.

参考文献

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