ロピタルの定理【証明と例題】
この記事では, ロピタルの定理(L'Hôpital's rule)の証明を解説し、極限値を求める例題を扱います。
ロピタルの定理は次の４パターンがあります。
- $x\to a\ \ $ のとき, $f(x)/g(x)\to 0/0$
- $x\to \infty$ のとき, $f(x)/g(x)\to 0/0$
- $x\to a\ \ $ のとき, $f(x)/g(x)\to \infty/\infty$
- $x\to \infty$ のとき, $f(x)/g(x)\to \infty/\infty$
各場合を証明します。
ロピタルの定理の証明
ロピタルの定理の証明には次の定理を使う.
コーシーの平均値定理
$f(x),g(x)$ は $[a,b]$ で連続, $(a,b)$ で微分可能とし,
$(a,b)$ で $g'(x)\neq 0$ とする. このとき,
\[ {f(b)-f(a) \over g(b)-g(a)}
={ f'(c) \over g'(c)} \]
を満たす $c\ (a< c< b)$ が存在する.
不定形 $0/0$
★ $x\to a$ の場合
ロピタルの定理
$f(x),g(x)$ は $a$ を含むある区間 $I$
上で次の条件を満たすとする.
(1) $a$ を除いて微分可能
(2) $a$ を除いて $g'(x)\neq 0$
(3) $a$ で連続で, $f(a)=g(a)=0$
このとき, 極限 $\displaystyle\lim_{x\to a}f'(x)/g'(x)$
が存在するならば, $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)/g(x)$ も存在し,
両者は一致する：
\[ \lim_{x\to a}{f'(x)\over g'(x)}
=\lim_{x\to a}{f(x)\over g(x)}. \]
- ▼ 証明
-
[証明]
コーシーの平均値定理より, 十分 $a$ に近い $x\neq a$ に対して, \[ {f(x)-f(a) \over g(x)-g(a)}={f(x)\over g(x)} ={ f'(\xi) \over g'(\xi)} \] を満たす $\xi$ が $a$ と $x$ の間に存在する.
$x\to a$ のとき, $\xi\to a$ であるから, 仮定より \[ \lim_{x\to a}{f(x)\over g(x)} =\lim_{x\to a}{f'(\xi)\over g'(\xi)} =\lim_{x\to a}{f'(x)\over g'(x)}. \]
★ $x\to \infty$ の場合
ロピタルの定理
$f(x),g(x)$ は十分大きな $c$ に対して,
区間 $(c,\infty)$ 上で次を満たすとする.
(1) 微分可能
(2) $g'(x)\neq 0$
(3) $\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)
=\lim_{x\to \infty}g(x)= 0$
このとき, 極限
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}f'(x)/g'(x)$
が存在するならば,
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)/g(x)$ も存在し,
両者は一致する：
\[ \lim_{x\to \infty}{f'(x)\over g'(x)}
=\lim_{x\to \infty}{f(x)\over g(x)}. \]
- ▼ 証明
-
[証明]
$x\to \infty$ の場合は $x\to +0$ の場合に帰着できる. \[ \eqalign{ \lim_{x\to \infty}{f(x)\over g(x)} &=\lim_{x\to +0}{f(1/x)\over g(1/x)} &=\lim_{x\to +0}{-f'(1/x)/x^2\over -g'(1/x)/x^2} \\ &=\lim_{x\to +0}{f'(1/x)\over g'(1/x)} &=\lim_{x\to \infty}{f'(x)\over g'(x)}. }\]
不定形 $\infty/\infty$
★ $x\to a$ の場合
ロピタルの定理
$f(x),g(x)$ は $a$ を含むある区間 $I$
上で次の条件を満たすとする.
(1) $a$ を除いて微分可能
(2) $a$ を除いて $g'(x)\neq 0$
(3) $\displaystyle\lim_{x\to a}g(a)=\infty$
このとき, 極限
$\displaystyle\lim_{x\to a}f'(x)/g'(x)=l$
が存在するならば, $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)/g(x)$ も存在し,
両者は一致する：
\[ \lim_{x\to a}{f'(x)\over g'(x)}
=\lim_{x\to a}{f(x)\over g(x)}. \]
- ▼ 証明
-
[証明]
$x\to a+0$ の場合を考える. 任意の $\e >0$ をとる. ある $b > a$ をとって, $a< x< b$ である任意の $x$ に対して \[ \left|{f'(x)\over g'(x)}-l\right| < \dfrac{\e}{2} \] とできる. コーシーの平均値定理より, $a< x< b$ なる $x$ に対して, \[ {f(x)-f(b) \over g(x)-g(b)} ={ f'(\xi) \over g'(\xi)} \] を満たす $\xi\ \ (x< \xi< b)$ が存在する. 上式の両辺に $g(x)-g(b)$ をかけて, $g(x)$ でわると, \[ {f(x)\over g(x)} ={f'(\xi)\over g'(\xi)} \left\{ 1- {g(b)\over g(x)} \right\} + {f(b)\over g(x)} \] を得る. よって, $x\to a+0$ のとき, $g(x)\to \infty$ より, \[ {f(x)\over g(x)}-{f'(\xi)\over g'(\xi)}\to 0. \] したがって, ある $\delta>0$ をとれば (ただし $a+\delta < b)$ \[\left|{f(x)\over g(x)} -{f'(\xi)\over g'(\xi)}\right| <{\e\over 2} \ \ (a< x< a+\delta). \] よって, $a< x < a+\delta$ なるすべての $x$ に対して, \[ \begin{align*} \left|{f(x)\over g(x)}-l \right| & \leq \left|{f(x)\over g(x)} -{f'(\xi)\over g'(\xi)} \right| +\left|{f'(\xi)\over g'(\xi)}-l\ \right| \\ &< {\e \over 2}+{\e \over 2}=\e. \end{align*} \] これは $\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)/g(x)=l$ を示す. 同様にして, $\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)/g(x)=l$ を示すことができる.
★ $x\to \infty$ の場合
ロピタルの定理
$f(x),g(x)$ は十分大きな $c$ に対して,
区間 $(c,\infty)$ 上で次を満たすとする.
(1) 微分可能
(2) $g'(x)\neq 0$
(3) $\displaystyle\lim_{x\to \infty}g(x)=\infty$
このとき, 極限
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}f'(x)/g'(x)$
が存在するならば,
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)/g(x)$ も存在し,
両者は一致する：
\[ \lim_{x\to \infty}{f'(x)\over g'(x)}
=\lim_{x\to \infty}{f(x)\over g(x)}. \]
- ▼ 証明
-
[証明]
$x\to \infty$ の場合は $x\to +0$ の場合に帰着できる. \[ \eqalign{ \lim_{x\to \infty}{f(x)\over g(x)} &=\lim_{x\to +0}{f(1/x)\over g(1/x)} &=\lim_{x\to +0}{-f'(1/x)/x^2\over -g'(1/x)/x^2} \\ &=\lim_{x\to +0}{f'(1/x)\over g'(1/x)} &=\lim_{x\to \infty}{f'(x)\over g'(x)}. }\]
例題
不定形 $0/0$
例題
次の極限値を求めよ.
(1) $\ds\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}$
(2) $\ds\lim_{x\to 0}\dfrac{a^x-b^x}{x}\ \ (a,b>0)$
- ▼ 解答
-
[解答]
ロピタルの定理を用いる.
(1) $\ds\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{3x^2} =\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{6x} =\dfrac{1}{6}.$
(2) $\ds\lim_{x\to 0}\dfrac{a^x\log a-b^x\log b}{1} =\log a-\log b =\log\dfrac{a}{b}.$
不定形 $\infty/\infty$
例題
次の極限値を求めよ.
(1) $\ds\lim_{x\to \infty}\dfrac{\log x}{x^\a}\ \ (\a >0)$
(2) $\ds\lim_{x\to \infty}\dfrac{e^x}{x^n}$
- ▼ 解答
-
[解答]
ロピタルの定理を用いる.
(1) $\ds\lim_{x\to \infty}\dfrac{(\log x)'}{(x^\a)'} =\lim_{x\to \infty}\dfrac{1/x}{\a x^{\a-1}} =\lim_{x\to \infty}\dfrac{1}{\a x^\a} =0.$
(2) $\ds\lim_{x\to \infty}\dfrac{e^x}{x^n} =\lim_{x\to \infty}\dfrac{e^x}{nx^{n-1}} =\lim_{x\to \infty}\dfrac{e^x}{n(n-1)x^{n-2}} =\cdots =\lim_{x\to \infty}\dfrac{e^x}{n!} =\infty.$
不定形 $0 \times \infty$
例題
次の極限値を求めよ.
(1) $\ds\lim_{x\to \infty}x(e^{1/x}-1)$
(2) $\ds\lim_{x\to 0} x\log x$
(3) $\ds\lim_{x\to 0} \sin x\log x$
- ▼ 解答
-
[解答]
ロピタルの定理を用いる.
(1) $\ds\lim_{x\to \infty} \dfrac{(e^{1/x}-1)'}{(1/x)'} =\lim_{x\to \infty}\dfrac{(-1/x^2)e^{1/x}}{-1/x^2} =\lim_{x\to \infty}e^{1/x} =1.$
(2) $\ds\lim_{x\to 0}\dfrac{(\log x)'}{(1/x)'} =\lim_{x\to 0}\dfrac{1/x}{-1/x^2} =\lim_{x\to 0}(-x) =0.$
(3) $\ds\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} \lim_{x\to 0}\dfrac{\log x}{1/x} =1\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{(\log x)'}{(1/x)'} =\lim_{x\to 0}(-x) =0.$
不定形 $\infty-\infty$
例題
次の極限値を求めよ.
$\ds\lim_{x\to \infty}x-\sqrt{x^2-x}$
- ▼ 解答
-
[解答]
ロピタルの定理を用いる.
$\ \ \ \ds\lim_{x\to \infty}x-\sqrt{x^2-x}$
$=\ds\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1-\sqrt{1-1/x}}{1/x} =\lim_{h\to 0}\dfrac{1-\sqrt{1-h}}{h}$
$=\ds\lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{1-h}}}{1} =\dfrac{1}{2}.$