フーリエ級数【例題】

$$ \newcommand{\a}{\bm{a}} $$

この記事では、周期関数の(複素)フーリエ級数を求める例題を扱います。

フーリエ級数

定義
周期 $T$ の周期関数 $f(x)$ に対して, $$\eq{ & a_0=\f{1}{T}\int_T f(x)dx \\ & a_n =\f{2}{T}\int_T f(x)\cos\f{2n\pi x}{T}dx \ \ \ (n=1,2,\cd) \\ & b_n =\f{2}{T}\int_T f(x)\sin\f{2n\pi x}{T}dx \ \ \ (n=1,2,\cd) }$$ を $f(x)$ のフーリエ係数という.
※ $\ds\int_T$ は「$0$ から $T$」や「$-T/2$ から $T/2$」など積分区間の長さが $T$ である積分を意味する.
※上式の被積分関数はすべて周期 $T$ の周期関数なので, このような定義ができる.

定義
$f(x)$ を周期 $T$ の周期関数とする.
次の級数を $f(x)$ のフーリエ級数という. $$ a_0 + \sum_{n=1}^\iy \le( a_n\cos\f{2n\pi x}{T}+b_n\sin\f{2n\pi x}{T}\ri) $$ ※ $a_n,b_n$ は上記で定めたフーリエ係数.

※一般に, 関数 $f(x)$ のフーリエ級数は必ずしも収束するとは限らない. また, $f(x)$ のフーリエ級数が収束しても, 必ずしも $f(x)$ と一致するとは限らない. そこで, $f(x)$ とそのフーリエ級数の関係を, 記号 $\sim$ (チルダ)を用いて次のように表す. $$ f(x) \sim a_0 + \sum_{n=1}^\iy \le( a_n\cos\f{2n\pi x}{T}+b_n\sin\f{2n\pi x}{T}\ri) $$

例題
次の周期関数 $f(x)$ のフーリエ級数を求めよ.
この関数のグラフを方形波という. $$ f(x)=\case{ -1 & (-1< x< 0) \cr 1 & (0< x < 1) } ,\ \ \ f(0)=f(1)=0,\ \ \ f(x+2)=f(x) $$

▼ 解答

[解答]
$f(x)$ の周期は $T=2$ であるから $\tfrac{2n\pi}{T}=n\pi$ である. まず, $a_n\ (n=0,1,2,\cd)$ を求める. $f(x)$ と $f(x)\cos n\pi x$ はともに奇関数であるから, $$\eq{ & a_0=\f{1}{2}\int_{-1}^1 f(x)dx=0, \\ & a_n=\int_{-1}^1 f(x)\cos n\pi xdx=0 }$$ である. 次に, $b_n$ を求める. $f(x)\sin n\pi x$ は偶関数であり, $\cos n\pi=(-1)^n$ であるから, $$\eq{ b_n & =\int_{-1}^1 f(x)\sin n\pi xdx \\ & =2\int_0^1 f(x)\sin n\pi xdx \\ & =2\le[ -\f{1}{n\pi}\cos n\pi x \ri]_0^1 \\ & =\f{2}{n\pi}(1-\cos n\pi) \\ & =\case{ \f{4}{n\pi} & (n\te{が奇数}) \cr 0 & (n\te{が偶数}) } }$$ となる. したがって, $f(x)$ のフーリエ級数は次のようになる. $$ f(x)\sim \f{4}{\pi} \le( \sin\pi x + \f{1}{3}\sin 3\pi x +\f{1}{5}\sin 5\pi x + \f{1}{7}\sin 7\pi x +\cd \ri) $$

複素フーリエ級数

定理
周期 $T$ の周期関数 $f(x)$ の複素フーリエ級数を $$ c_n=\f{1}{T}\int_T f(x)e^{-i\o_n x}dx \ \ \ (n=0,\pm 1,\pm 2,\cd) $$ と定める. ただし, $\o_n=\frac{2n\pi}{T}$ とする.
このとき, $f(x)$ のフーリエ級数は $$ f(x)\sim \sum_{n=-\iy}^\iy c_n e^{i\o_n x} $$ となる. この式の右辺を $f(x)$ の複素フーリエ級数という.

▼ 証明

[証明]
$$ \o_{-n}=\f{2(-n)\pi}{T}=-\f{2n\pi}{T}=-\o_n $$ であるから, $f(x)$ のフーリエ級数 $$ f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\iy \le( a_n\cos\f{2n\pi x}{T}+b_n\sin\f{2n\pi x}{T} \ri) \tag{1} $$ の右辺の$(\ \ )$ 内の式を $(*)$ とすると, $$\eq{ (*) & =a_n\cos\o_nx+b_n\sin\o_n x \\ & =a_n\cdot \f{e^{i\o_n x}+e^{-i\o_n x}}{2} +b_n\cdot \f{e^{i\o_n x}-e^{-i\o_n x}}{2i} \\ & =\f{a_n-ib_n}{2}e^{i\o_n x} +\f{a_n+ib_n}{2}e^{-i\o_n x} \\ & =\f{a_n-ib_n}{2}e^{i\o_n x} +\f{a_n+ib_n}{2}e^{i\o_{-n} x} }$$ となる. ここで, $\{c_n\}$ を $$ c_0=a_0,\ \ c_n=\f{a_n-ib_n}{2},\ \ c_{-n}=\f{a_n+ib_n}{2} $$ と定める. $\o_0=0$ であることに注意すると, $(1)$ は $$\eq{ f(x) & =c_0+\sum_{n=1}^\iy (c_n e^{i\o_n x}+c_{-n} e^{i\o_{-n} x}) \\ & =\sum_{n=-\iy}^\iy c_n e^{i\o_n x} }$$ と表せる. 一方, $f(x)$ のフーリエ級数は $$\eq{ & a_0=\f{1}{T}\int_T f(x)dx \\ & a_n =\f{2}{T}\int_T f(x)\cos\f{2n\pi x}{T}dx \ \ \ (n=1,2,\cd) \\ & b_n =\f{2}{T}\int_T f(x)\sin\f{2n\pi x}{T}dx \ \ \ (n=1,2,\cd) }$$ であるから, 自然数 $n$ に対して, $c_n,c_{-n},c_0$ はそれぞれ $$\eq{ c_n =\f{a_n-ib_n}{2} & =\f{1}{T}\int_T f(x)(\cos\o_n x-i\sin\o_n x)dx \\ & =\f{1}{T}\int_T f(x)e^{-i\o_n x}dx \\ c_{-n}=\f{a_n+ib_n}{2} & =\f{1}{T}\int_T f(x)(\cos\o_n x+i\sin\o_n x)dx \\ & =\f{1}{T}\int_T f(x)e^{i\o_n x}dx \\ & =\f{1}{T}\int_T f(x)e^{-i\o_{-n} x}dx c_0=a_0 \\ & =\f{1}{T}\int_T f(x)dx =\f{1}{T}\int_T f(x)e^{-i\o_0 x}dx }$$

例題
周期 $2\pi$ の関数 $$ f(x)=\case{ 1 & (|x|\leq 0) \cr 0 & (1 < |x| \leq \pi) } $$ の複素フーリエ級数を求めよ.

▼ 解答

[解答]
$T=2\pi$ であるから $\tfrac{2n\pi}{T}x=nx$ である. したがって, 複素フーリエ級数は $$ c_n=\f{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}dx =\f{1}{2\pi}\int_{-1}^1 e^{-inx}dx $$ である. ここで, $n=0$ のとき, $$ c_0=\f{1}{2\pi}\int_{-1}^1 dx=\f{1}{\pi} $$ となる. また, $n\neq 0$ のときは, $$ c_n=\f{1}{2\pi}\int_{-1}^1 e^{-inx}dx =\f{1}{2\pi}\f{1}{-in}\le[e^{-inx}\ri]_{-1}^1 =\f{i}{2n\pi}(e^{-in}-e^{in}) $$ となる. ここで, $e^{i\t}-e^{-i\t}=2i\sin\t$ を用いると, $$ c_n=\f{i}{2n\pi}(-2i\sin n)=\f{1}{n\pi}\sin n $$ となる. したがって, $f(x)$ の複素フーリエ級数は次のようになる. $$ f(x)\sim \f{1}{\pi}+\f{1}{\pi} \sum_{\substack{n=-\iy \\ n\neq 0 }}^\iy \f{\sin n}{n}e^{inx} $$

例題
周期 $2\pi$ の関数 $$ f(x)=x\ \ \ (-\pi \leq x < \pi) $$ の複素フーリエ級数を求めよ.

▼ 解答

[解答]
$T=2\pi$ であるから $\tfrac{2n\pi}{T}x=nx$ である. したがって, 複素フーリエ級数は $n\neq 0$ のとき, $$\eq{ c_n & =\f{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}dx \\ & =\f{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi xe^{-inx}dx \\ & =\f{1}{2\pi}\le( \le[ x\cdot \f{e^{-inx}}{-in} \ri]_{-\pi}^\pi + \f{1}{in}\int_{-\pi}^\pi e^{-inx}dx \ri) \\ \Big( e^{inx}+ & e^{-inx}=2\cos n\pi,\ \ \ \int_{-\pi}^\pi e^{-inx}dx =0 \te{より,} \Big) \\ & =\f{1}{2\pi}\cdot \f{2\pi\cos n\pi}{-in} =\f{(-1)^n}{-in} \\ & =\f{i(-1)^n}{n} }$$ となる.
$n=0$ のとき, $$ c_0=\f{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi xdx=0. $$ したがって, $f(x)$ の複素フーリエ級数は次のようになる. $$ f(x)\sim \sum_{\substack{n=-\iy \\ n\neq 0 }}^\iy \f{i(-1)^n}{n}e^{inx} $$