Takatani Note

フーリエ級数【例題】

この記事では、周期関数の(複素)フーリエ級数を求める例題を扱います。

フーリエ級数

定義
周期 T の周期関数 f(x) に対して, a0=1TTf(x)dxan=2TTf(x)cos2nπxTdx   (n=1,2,)bn=2TTf(x)sin2nπxTdx   (n=1,2,)f(x)フーリエ係数という.
T は「0 から T」や「T/2 から T/2」など積分区間の長さが T である積分を意味する.
※上式の被積分関数はすべて周期 T の周期関数なので, このような定義ができる.

定義
f(x) を周期 T の周期関数とする.
次の級数を f(x)フーリエ級数という. a0+n=1(ancos2nπxT+bnsin2nπxT)an,bn は上記で定めたフーリエ係数.

※一般に, 関数 f(x)フーリエ級数は必ずしも収束するとは限らない. また, f(x) のフーリエ級数が収束しても, 必ずしも f(x) と一致するとは限らない. そこで, f(x) とそのフーリエ級数の関係を, 記号 (チルダ)を用いて次のように表す. f(x)a0+n=1(ancos2nπxT+bnsin2nπxT)

例題
次の周期関数 f(x) のフーリエ級数を求めよ.
この関数のグラフを方形波という. f(x)={1(1<x<0)1(0<x<1),   f(0)=f(1)=0,   f(x+2)=f(x)

解答
[解答]
f(x) の周期は T=2 であるから 2nπT=nπ である. まず, an (n=0,1,2,) を求める. f(x)f(x)cosnπx はともに奇関数であるから, a0=1211f(x)dx=0,an=11f(x)cosnπxdx=0 である. 次に, bn を求める. f(x)sinnπx は偶関数であり, cosnπ=(1)n であるから, bn=11f(x)sinnπxdx=201f(x)sinnπxdx=2[1nπcosnπx]01=2nπ(1cosnπ)={4nπ(nが奇数)0(nが偶数) となる. したがって, f(x) のフーリエ級数は次のようになる. f(x)4π(sinπx+13sin3πx+15sin5πx+17sin7πx+)

複素フーリエ級数

定理
周期 T の周期関数 f(x) の複素フーリエ級数を cn=1TTf(x)eiωnxdx   (n=0,±1,±2,) と定める. ただし, ωn=2nπT とする.
このとき, f(x) のフーリエ級数は f(x)n=cneiωnx となる. この式の右辺を f(x)複素フーリエ級数という.

証明
[証明]
ωn=2(n)πT=2nπT=ωn であるから, f(x) のフーリエ級数 (1)f(x)=a0+n=1(ancos2nπxT+bnsin2nπxT) の右辺の(  ) 内の式を () とすると, ()=ancosωnx+bnsinωnx=aneiωnx+eiωnx2+bneiωnxeiωnx2i=anibn2eiωnx+an+ibn2eiωnx=anibn2eiωnx+an+ibn2eiωnx となる. ここで, {cn}c0=a0,  cn=anibn2,  cn=an+ibn2 と定める. ω0=0 であることに注意すると, (1)f(x)=c0+n=1(cneiωnx+cneiωnx)=n=cneiωnx と表せる. 一方, f(x) のフーリエ級数は a0=1TTf(x)dxan=2TTf(x)cos2nπxTdx   (n=1,2,)bn=2TTf(x)sin2nπxTdx   (n=1,2,) であるから, 自然数 n に対して, cn,cn,c0 はそれぞれ cn=anibn2=1TTf(x)(cosωnxisinωnx)dx=1TTf(x)eiωnxdxcn=an+ibn2=1TTf(x)(cosωnx+isinωnx)dx=1TTf(x)eiωnxdx=1TTf(x)eiωnxdxc0=a0=1TTf(x)dx=1TTf(x)eiω0xdx

例題
周期 2π の関数 f(x)={1(|x|0)0(1<|x|π) の複素フーリエ級数を求めよ.

解答
[解答]
T=2π であるから 2nπTx=nx である. したがって, 複素フーリエ級数は cn=12πππf(x)einxdx=12π11einxdx である. ここで, n=0 のとき, c0=12π11dx=1π となる. また, n0 のときは, cn=12π11einxdx=12π1in[einx]11=i2nπ(einein) となる. ここで, eiθeiθ=2isinθ を用いると, cn=i2nπ(2isinn)=1nπsinn となる. したがって, f(x) の複素フーリエ級数は次のようになる. f(x)1π+1πn=n0sinnneinx

例題
周期 2π の関数 f(x)=x   (πx<π) の複素フーリエ級数を求めよ.

解答
[解答]
T=2π であるから 2nπTx=nx である. したがって, 複素フーリエ級数は n0 のとき, cn=12πππf(x)einxdx=12πππxeinxdx=12π([xeinxin]ππ+1inππeinxdx)(einx+einx=2cosnπ,   ππeinxdx=0より,)=12π2πcosnπin=(1)nin=i(1)nn となる.
n=0 のとき, c0=12πππxdx=0. したがって, f(x) の複素フーリエ級数は次のようになる. f(x)n=n0i(1)nneinx

参考文献

関連記事

-------- Share --------