フーリエ級数【例題】

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この記事では、周期関数の(複素)フーリエ級数を求める例題を扱います。

フーリエ級数

定義
周期 $T$ の周期関数 $f(x)$ に対して, $$\begin{array}{rl}& a_0={\displaystyle \frac{1}{T}}{\int }_{T}f(x)dx\\ & a_n={\displaystyle \frac{2}{T}}{\int }_{T}f(x)\cos {\displaystyle \frac{2n\pi x}{T}}dx(n=1,2,\cdots )\\ & b_n={\displaystyle \frac{2}{T}}{\int }_{T}f(x)\sin {\displaystyle \frac{2n\pi x}{T}}dx(n=1,2,\cdots )\end{array}$$ を $f(x)$ のフーリエ係数という.
※ ${\displaystyle {\int }_T}$ は「$0$ から $T$」や「$-T/2$ から $T/2$」など積分区間の長さが $T$ である積分を意味する.
※上式の被積分関数はすべて周期 $T$ の周期関数なので, このような定義ができる.

定義
$f(x)$ を周期 $T$ の周期関数とする.
次の級数を $f(x)$ のフーリエ級数という. $$a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos {\displaystyle \frac{2n\pi x}{T}}+b_n\sin {\displaystyle \frac{2n\pi x}{T}})$$ ※ $a_n,b_n$ は上記で定めたフーリエ係数.

※一般に, 関数 $f(x)$ のフーリエ級数は必ずしも収束するとは限らない. また, $f(x)$ のフーリエ級数が収束しても, 必ずしも $f(x)$ と一致するとは限らない. そこで, $f(x)$ とそのフーリエ級数の関係を, 記号 $\sim$ (チルダ)を用いて次のように表す. $$f(x)\sim a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos {\displaystyle \frac{2n\pi x}{T}}+b_n\sin {\displaystyle \frac{2n\pi x}{T}})$$

例題
次の周期関数 $f(x)$ のフーリエ級数を求めよ.
この関数のグラフを方形波という. $$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& (-1<x<0)\\ 1& (0<x<1)\end{array},f(0)=f(1)=0,f(x+2)=f(x)$$

▼ 解答

[解答]
$f(x)$ の周期は $T=2$ であるから $\frac{2n\pi }{T}=n\pi$ である. まず, $a_n(n=0,1,2,\cdots )$ を求める. $f(x)$ と $f(x)\cos n\pi x$ はともに奇関数であるから, $$\begin{array}{rl}& a_0={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^{1}f(x)dx=0,\\ & a_n={\int }_{-1}^{1}f(x)\cos n\pi xdx=0\end{array}$$ である. 次に, $b_n$ を求める. $f(x)\sin n\pi x$ は偶関数であり, $\cos n\pi =(-1{)}^n$ であるから, $$\begin{array}{rl}{b}_n& ={\int }_{-1}^{1}f(x)\sin n\pi xdx\\ & =2{\int }_0^{1}f(x)\sin n\pi xdx\\ & =2{[-{\displaystyle \frac{1}{n\pi }}\cos n\pi x]}_0^1\\ & ={\displaystyle \frac{2}{n\pi }}(1-\cos n\pi )\\ & =\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{4}{n\pi }}& (n\text{が奇数})\\ 0& (n\text{が偶数})\end{array}\end{array}$$ となる. したがって, $f(x)$ のフーリエ級数は次のようになる. $$f(x)\sim {\displaystyle \frac{4}{\pi }}(\sin \pi x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\sin 3\pi x+{\displaystyle \frac{1}{5}}\sin 5\pi x+{\displaystyle \frac{1}{7}}\sin 7\pi x+\cdots )$$

複素フーリエ級数

定理
周期 $T$ の周期関数 $f(x)$ の複素フーリエ級数を $$c_n={\displaystyle \frac{1}{T}}{\int }_{T}f(x)e^{-i{\omega }_{n}x}dx(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$$ と定める. ただし, ${\omega }_n=\frac{2n\pi }{T}$ とする.
このとき, $f(x)$ のフーリエ級数は $$f(x)\sim \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{i{\omega }_{n}x}$$ となる. この式の右辺を $f(x)$ の複素フーリエ級数という.

▼ 証明

[証明]
$${\omega }_{-n}={\displaystyle \frac{2(-n)\pi }{T}}=-{\displaystyle \frac{2n\pi }{T}}=-{\omega }_n$$ であるから, $f(x)$ のフーリエ級数 $$\begin{array}{}\text{(1)}& f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos {\displaystyle \frac{2n\pi x}{T}}+b_n\sin {\displaystyle \frac{2n\pi x}{T}})\end{array}$$ の右辺の$()$ 内の式を $(\ast )$ とすると, $$\begin{array}{rl}(\ast )& =a_n\cos {\omega }_{n}x+b_n\sin {\omega }_{n}x\\ & =a_n\cdot {\displaystyle \frac{e^{i{\omega }_{n}x}+e^{-i{\omega }_{n}x}}{2}}+b_n\cdot {\displaystyle \frac{e^{i{\omega }_{n}x}-e^{-i{\omega }_{n}x}}{2i}}\\ & ={\displaystyle \frac{a_n-i{b}_n}{2}}{e}^{i{\omega }_{n}x}+{\displaystyle \frac{a_n+i{b}_n}{2}}{e}^{-i{\omega }_{n}x}\\ & ={\displaystyle \frac{a_n-i{b}_n}{2}}{e}^{i{\omega }_{n}x}+{\displaystyle \frac{a_n+i{b}_n}{2}}{e}^{i{\omega }_{-n}x}\end{array}$$ となる. ここで, $\{c_n\}$ を $$c_0=a_0,c_n={\displaystyle \frac{a_n-i{b}_n}{2}},c_{-n}={\displaystyle \frac{a_n+i{b}_n}{2}}$$ と定める. ${\omega }_0=0$ であることに注意すると, $(1)$ は $$\begin{array}{rl}f(x)& =c_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(c_n{e}^{i{\omega }_{n}x}+c_{-n}{e}^{i{\omega }_{-n}x})\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{i{\omega }_{n}x}\end{array}$$ と表せる. 一方, $f(x)$ のフーリエ級数は $$\begin{array}{rl}& a_0={\displaystyle \frac{1}{T}}{\int }_{T}f(x)dx\\ & a_n={\displaystyle \frac{2}{T}}{\int }_{T}f(x)\cos {\displaystyle \frac{2n\pi x}{T}}dx(n=1,2,\cdots )\\ & b_n={\displaystyle \frac{2}{T}}{\int }_{T}f(x)\sin {\displaystyle \frac{2n\pi x}{T}}dx(n=1,2,\cdots )\end{array}$$ であるから, 自然数 $n$ に対して, $c_n,c_{-n},c_0$ はそれぞれ $$\begin{array}{rl}{c}_n={\displaystyle \frac{a_n-i{b}_n}{2}}& ={\displaystyle \frac{1}{T}}{\int }_{T}f(x)(\cos {\omega }_{n}x-i\sin {\omega }_{n}x)dx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{T}}{\int }_{T}f(x)e^{-i{\omega }_{n}x}dx\\ c_{-n}={\displaystyle \frac{a_n+i{b}_n}{2}}& ={\displaystyle \frac{1}{T}}{\int }_{T}f(x)(\cos {\omega }_{n}x+i\sin {\omega }_{n}x)dx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{T}}{\int }_{T}f(x)e^{i{\omega }_{n}x}dx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{T}}{\int }_{T}f(x)e^{-i{\omega }_{-n}x}dx{c}_0=a_0\\ & ={\displaystyle \frac{1}{T}}{\int }_{T}f(x)dx={\displaystyle \frac{1}{T}}{\int }_{T}f(x)e^{-i{\omega }_{0}x}dx\end{array}$$

例題
周期 $2\pi$ の関数 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\le 0)\\ 0& (1<|x|\le \pi )\end{array}$$ の複素フーリエ級数を求めよ.

▼ 解答

[解答]
$T=2\pi$ であるから $\frac{2n\pi }{T}x=nx$ である. したがって, 複素フーリエ級数は $$c_n={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-1}^1{e}^{-inx}dx$$ である. ここで, $n=0$ のとき, $$c_0={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-1}^{1}dx={\displaystyle \frac{1}{\pi }}$$ となる. また, $n\ne 0$ のときは, $$c_n={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-1}^1{e}^{-inx}dx={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\displaystyle \frac{1}{-in}}{\left[e^{-inx}\right]}_{-1}^1={\displaystyle \frac{i}{2n\pi }}(e^{-in}-e^{in})$$ となる. ここで, $e^{i\theta }-e^{-i\theta }=2i\sin \theta$ を用いると, $$c_n={\displaystyle \frac{i}{2n\pi }}(-2i\sin n)={\displaystyle \frac{1}{n\pi }}\sin n$$ となる. したがって, $f(x)$ の複素フーリエ級数は次のようになる. $$f(x)\sim {\displaystyle \frac{1}{\pi }}+{\displaystyle \frac{1}{\pi }}\sum _{\begin{array}{c}n=-\mathrm{\infty }\\ n\ne 0\end{array}}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin n}{n}}{e}^{inx}$$

例題
周期 $2\pi$ の関数 $$f(x)=x(-\pi \le x<\pi )$$ の複素フーリエ級数を求めよ.

▼ 解答

[解答]
$T=2\pi$ であるから $\frac{2n\pi }{T}x=nx$ である. したがって, 複素フーリエ級数は $n\ne 0$ のとき, $$\begin{array}{rl}{c}_n& ={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }x{e}^{-inx}dx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}({[x\cdot {\displaystyle \frac{e^{-inx}}{-in}}]}_{-\pi }^{\pi }+{\displaystyle \frac{1}{in}}{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{-inx}dx)\\ (e^{inx}+& e^{-inx}=2\cos n\pi ,{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{-inx}dx=0\text{より,})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{2\pi \cos n\pi }{-in}}={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{-in}}\\ & ={\displaystyle \frac{i(-1{)}^n}{n}}\end{array}$$ となる.
$n=0$ のとき, $$c_0={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }xdx=0.$$ したがって, $f(x)$ の複素フーリエ級数は次のようになる. $$f(x)\sim \sum _{\begin{array}{c}n=-\mathrm{\infty }\\ n\ne 0\end{array}}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{i(-1{)}^n}{n}}{e}^{inx}$$