フェルマー曲面の種数計算
この記事では、次数 $d$ のフェルマー曲面:
$$ x^d+y^d+z^d+w^d=0 \subset \C\P^3 $$
の種数 $g$ が
$$ g=\f{(d-1)(d-2)(d-3)}{6} $$
であることを示します。
種数は代数多様体の重要な不変量です。
種数の計算テクニックをマスターしておきましょう。
以下、定義・記号は[Har]に合わせます。
フェルマー曲面
問題
$S$ を次数 $d$ のフェルマー曲面とする：
$$ x^d+y^d+z^d+w^d=0 \subset \P^3 $$
このとき, $S$ の種数 $g:=h^2(S,\ \O_S)$ を求めよ.
[解答]
短完全列：
$$ 0\to \O_{\P^3}(-S)\to
\O_{\P^3} \to \O_S \to 0 $$
に対して, コホモロジーの長完全列をとると,
$$ \eqalign{
0&\to H^0(\P^3,\ \O_{\P^3}(-S)) \to H^0(\P^3,\ \O_{\P^3})\to H^0(S,\ \O_{S}) \\
&\to H^1(\P^3,\ \O_{\P^3}(-S)) \to H^1(\P^3,\ \O_{\P^3})\to H^1(S,\ \O_{S}) \\
&\to H^2(\P^3,\ \O_{\P^3}(-S)) \to H^2(\P^3,\ \O_{\P^3})\to H^2(S,\ \O_{S}) \\
&\to H^3(\P^3,\ \O_{\P^3}(-S)) \to H^3(\P^3,\ \O_{\P^3})
\to 0.
}$$
$H^2(\P^3,\ \O_{\P^3})=H^3(\P^3,\ \O_{\P^3})=0$ より,
$$ H^2(S,\ \O_S)\cong H^3(\P^3,\ \O_{\P^3}(-S)).$$
セール双対定理より,
$$ \eqalign{
h^3(\P^3,\ \O_{\P^3}(-S))
&=h^0(\P^3,\ \omega_{\P^3}\ot \O_{\P^3}(S)) \\
&=h^0(\P^3,\ \O_{\P^3}(d-4)) \\
&=\f{(d-1)(d-2)(d-3)}{6}. \\
} $$
$$ \th g=\frac{(d-1)(d-2)(d-3)}{6}. $$
参考文献
- [Har] R.Hartshorne "Algebraic Geometry" Springer 1977.