Takatani Note

フェルマー曲面の種数計算

この記事では、次数 $d$ のフェルマー曲面:
\[ x^d+y^d+z^d+w^d=0 \subset \C\P^3 \] の種数 $g$ が \[ g=\dfrac{(d-1)(d-2)(d-3)}{6} \] であることを示します。

種数は代数多様体の重要な不変量です。
種数の計算テクニックをマスターしておきましょう。

以下、定義・記号は[Har]に合わせます。

フェルマー曲面

問題
$S$ を次数 $d$ のフェルマー曲面とする:
\[ x^d+y^d+z^d+w^d=0 \subset \P^3 \] このとき, $S$ の種数 $g:=h^2(S,\ \O_S)$ を求めよ.

[解答]
短完全列:
\[ 0\to \O_{\P^3}(-S)\to \O_{\P^3} \to \O_S \to 0 \] に対して, コホモロジーの長完全列をとると,
\[ \eqalign{ 0&\to H^0(\P^3,\ \O_{\P^3}(-S)) \to H^0(\P^3,\ \O_{\P^3})\to H^0(S,\ \O_{S}) \\ &\to H^1(\P^3,\ \O_{\P^3}(-S)) \to H^1(\P^3,\ \O_{\P^3})\to H^1(S,\ \O_{S}) \\ &\to H^2(\P^3,\ \O_{\P^3}(-S)) \to H^2(\P^3,\ \O_{\P^3})\to H^2(S,\ \O_{S}) \\ &\to H^3(\P^3,\ \O_{\P^3}(-S)) \to H^3(\P^3,\ \O_{\P^3}) \to 0. }\] $H^2(\P^3,\ \O_{\P^3})=H^3(\P^3,\ \O_{\P^3})=0$ より,
\[ H^2(S,\ \O_S)\cong H^3(\P^3,\ \O_{\P^3}(-S)).\] セール双対定理より,
\[ \eqalign{ h^3(\P^3,\ \O_{\P^3}(-S)) &=h^0(\P^3,\ \omega_{\P^3}\ot \O_{\P^3}(S)) \\ &=h^0(\P^3,\ \O_{\P^3}(d-4)) \\ &=_{d-4}\!\mathrm{H}_4=_{d-1}\!\mathrm{C}_3 \\ &=\dfrac{(d-1)(d-2)(d-3)}{6}. \\ } \] (ここで, $_n\mathrm{H}_r$ は異なる $r$ 個から重複を許して $n$ 個とる組合せの数を表す.)
\[ \therefore\ g=\frac{(d-1)(d-2)(d-3)}{6}. \ \ \square \]

参考文献

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