コンパクト空間の例と反例【証明付き】

この記事では、コンパクト空間の性質、例、反例を紹介します。

• 性質
• コンパクトの例（単位円、球面など）
• コンパクトでない例

はじめにコンパクトの定義を確認しておきます。

コンパクトとは

定義 (開被覆)
$(X,\O)$ を位相空間, $A$ を $X$ の部分集合とする.
ある $X$ の開集合の族 $\{U_\l\}_{\l \in\L}$ があって, $$ A\subset \bigcup_{\l\in\L} U_\l $$ が成り立つとき, $\{U_\l\}_{\l \in\L}$ を $A$ の 開被覆 (open cover)という.

例えば, 開区間 $I_n:=(n,n+2)$ の族 $\U:=\{ I_n\mid n\in\Z\}$ は $\R=\bigcup_{n\in\Z} I_n$ を満たすので, $\U$ は $\R$ の開被覆である.

定義 (コンパクト)
位相空間 $X$ の任意の開被覆 $\U$ に対して, $\U$ に属する有限個の開集合 $U_1,\cdots,U_n$ が存在して, $$ X =U_1\cup \cdots \cup U_n $$ を満たすとき, $X$ はコンパクト (compact)であるという.

以下、$\R^n$ には通常の位相(ユークリッド位相)が入っているとします。

性質

定理Ａ
位相空間 $X$ がコンパクトならば, $X$ の任意の閉集合 $A$ もコンパクトである.

▼ 証明

[証明]
$\U$ を $A$ の $X$ における任意の開被覆とする. $$ \U^*=\U\cup A^c $$ とおけば, $\U^*$ は $X$ の開被覆である.
$X$ はコンパクトなので, $\U$ に属する有限個の開集合 $O_1,\cdots,O_n$ および $A^c$ の和集合によって, $X$ を被覆できる.
したがって, $A$ は有限個の開集合 $O_1,\cdots,O_n$ によって被覆される. よって, $A$ はコンパクトである.

定理Ｘ
ハウスドルフ空間 $X$ の部分集合 $A$ がコンパクトならば, $A$ は $X$ の閉集合である.

▼ 証明

[証明]
$O:=X\sm A$ が開集合であることを示す. そのために, 任意の $x\in O$ に対して, $U\sub O$ (すなわち $U\cap A=\emp$)を満たす $x$ の開近傍 $U$ が存在することを示せばよい.

いま, 任意の $x\in O$ をとって固定する. 任意の $y\in A$ に対して, $x\neq y$ であり, $X$ はハウスドルフなので, $x,y$ の開近傍で互いに交わらないものがある.
それらの開近傍は点 $y$ に従属して定まるから, それらを $U_y,V_y$ と書くことにする.
すなわち, $x\in U_y, y\in V_y$ かつ $U_y\cap V_y=\emp.$

このとき $\{V_y \mid y\in A\}$ は明らかに $A$ の開被覆となるが, $A$ はコンパクトであるから, $A$ の適当な有限個の点 $y_1,\cd,y_n$ をとって, $$ A \sub \bigcup_{i=1}^n V_{y_i} $$ とできる. そこで $U=\bigcap_{i=1}^n U_{y_i}$ とおけば, $U$ は $x$ の開近傍で, 任意の $i=1,\cd,n$ に対して, $U\sub U_{y_i},\ \ U_{y_i}\cap V_{y_i}=\emp$ であるから, $U\cap V_{y_i}=\emp.$
したがって $$ U\cap \le( \bigcup_{i=1}^n V_{y_i} \ri) =\bigcup_{i=1}^n (U\cap V_{y_i})=\emp. $$ ゆえに $U\cap A=\emp.$

定理Ｂ
$A$ を $\R^n$ の部分集合とする. このとき,
$A$ はコンパクト $\iff$ $A$ は $R^n$ の有界な閉集合.

▼ 証明

[証明]
※証明は[松坂 5章定理16]または[内田 例23.1]にも書いてある.

$(\Rightarrow)$ $A$ がコンパクトのとき, $\R^n$ はハウスドルフなので, 定理Ｘより, $A$ は $\R^n$ の閉集合である.
次に $A$ が有界であることを示す. 任意の $x_0 \in \R^n$ をとる. $x_0$ を中心とするあらゆる半径の開球体からなる集合系 $$ \U:=\{B(x_0:\rho)\mid \rho >0\} $$ を考えれば, この集合系の和集合は $\R^n$ 全体と一致するから, $\U$ は $A$ の開被覆である. $A$ はコンパクトであるから, $A$ はこれらの球体 $B(x_0;\rho)$ のうちの有限個によって覆われる. すなわち, 適当に正数 $\rho_1,\cd,\rho_k$ をとれば, $$ A\sub \bigcup_{i=1}^k B(x_0;\rho_i) $$ となる. そこで $\max\{\rho_1,\cd,\rho_k\}=\rho$ とおけば, $B(x_0;\rho_i)\sub B(x_0;\rho)$ であるから, $A\sub B(x_0;\rho).$ ゆえに $A$ は有界である.

$(\Leftarrow)$ $A$ を $\R^n$ の有界な閉集合とする. $A$ は有界であるから, $A$ は $\R^n$ のある閉区間 $$ J=[a_1,b_1]\times \cd \times [a_n,b_n]\ \ \ \ \ (a_i,b_i\in\R) $$ に含まれる. ハイネ・ボレルの被覆定理(後述)より, $\R$ の任意の閉区間 $[a,b]$ はコンパクトであるから, チコノフの定理より, $J$ はコンパクトである. ($A$ は $J$ の閉集合であるから), 定理Ａによって $A$ もコンパクトである.

定理Ｂより, コンパクトとは, ユークリッド空間の有界閉集合を位相空間に拡張させた概念であると言える.

定理Ｃ
$X,Y$ を位相空間, $f:X\to Y$ を連続写像とする.
このとき, $X$ がコンパクトならば $f(X)$ もコンパクトである.

▼ 証明

[証明]
$\U$ を $f(X)$ の開被覆とすれば,
$$ f^{-1}(\U):=\{f^{-1}(O)\in \O_X\mid O\in \U\} $$ は $X$ の開被覆である.
$X$ はコンパクトなので, $f^{-1}(\U)$ に属する有限個の開集合 $f^{-1}(O_1),\cd,f^{-1}(O_n)$ によって $X$ を被覆できる： $$ X= f^{-1}(O_1)\cup \cd \cup f^{-1}(O_n). $$ ゆえに, $$ f(X)\subset O_1\cup \cdots\cup O_n $$ なので, $f(X)$ は $\U$ に属する有限個の開集合によって被覆できる.
よって, $f(X)$ はコンパクトである.

※証明は[松坂 5章定理12]または[内田 定理22.3]にもある.

定理Ｄ
$X$ がコンパクト空間ならば, その商空間 $X/\! \sim$ もコンパクト空間である.

▼ 証明

[証明]
商位相の定義より, 自然な全射 $p:X\to X/\! \sim$ は連続写像なので, 定理Ｃより, $X$ がコンパクトならば, $X/\! \sim$ もコンパクトである.

定理Ｅ
コンパクト空間 $X$ 上の実数値連続関数 $f:X\to \R$ は常に最大値と最小値を持つ.

▼ 証明

[証明]
定理Ｂより, $f(X)$ は $\R$ のコンパクト集合である.
従って, $f(X)$ は有界な閉集合である.
$f(X)$ は有界なので上限 $\sup f(X)$ と下限 $\inf f(X)$ をもつ.
さらに, 閉集合なので背理法を用いて $$ \sup f(X), \inf f(X) \in f(X) $$ が示せる. つまり, $f(X)$ に最大値と最小値が存在する.

コンパクトの例（単位円、球面など）

例 (ハイネ・ボレルの被覆定理)
通常の位相が入った $\R$ において, 任意の閉区間 $[a,b]$ はコンパクトである.

▼ 証明

[証明]
以下の証明は[松坂 §2定理16]を参考にした.
なお[内田 定理22.1]ではカントールの区間縮小法を用いた別の証明がされている.

$\U$ を $I=[a,b]$ の $\R$ における任意の開被覆とする.
このとき, $x\in I$ とすれば, $\U$ はもちろん $[a,x]$ の開被覆ともなる. いま, $\U$ が $[a,x]$ の有限被覆を含むような点 $x\in I$ 全体の集合を $I'$ とする. このとき, $b\in I'$ を示せば, 主張が証明される.

まず, 明らかに $a\in I'$ なので $I'\neq \emp$ である. また $b$ は $I'$ の上界であるから, $c:=\sup I'$ が存在して, $c\leq b$ である.

今から $c\in I'$ を示す. $c\in I$ であるから, $c\in U$ となる $U\in \U$ が存在する. $U$ は $\R$ の開集合であるから, $\e >0$ を十分小さくとれば $$ [c-\e, c+\e] \sub U \tag{*}$$ となる. 明らかに $c-\e\in I'$ であるから, $[a,c-\e]$ は $\U$ の有限個の元 $U_1,\cd,U_k$ によって覆われる. したがって, $$ [a,c-\e]\cup [c-\e,c+\e]=[a,c+\e] $$ は $U_1,\cd,U_k,U$ によって覆われる. よって, 当然 $[a,c]$ も $U_1,\cd,U_k,U$ によって覆われる. したがって $c\in I'$ となる.

また, もし $c< b$ ならば, $(*)$ の $\e$ を $c+\e < b$ となるようにとれるが, その場合 $c+\e \in I$ で. 上に示したように $[a,c+\e]$ は $\U$ の有限個の元で覆われるから, $c+\e \in I'$ となる. これは $c$ が $I'$ の上限であることに反するから $c=b$ でなければならない. ゆえに $b\in I'.$ これで主張は示された.

例
単位円 $S^1$ と球面 $S^2$ はコンパクトである： $$\eq{ S^1 & =\{(x,y)\in\R^2 \mid x^2+y^2=1\} \\ S^2 & =\{(x,y,z)\in\R^3 \mid x^2+y^2+z^2=1\} }$$

▼ 証明

[証明]
単位円 $S^1$
定理Ｂより $S^1$ が $\R^{2}$ の有界閉集合であることを示せばよい.
$|x|\leq 1,\ |y|\leq 1$ より, $S^1$ は有界である.
$S^1$ が $\R^2$ の閉集合であることを示そう.
$f: \R^2 \to \R,$
$\ \ \ (x,y,z) \ma x^2+y^2-1$
とすると, $f$ は連続写像である.
$\{0\}$ は $\R$ の閉集合なので,
その逆像 $f^{-1}(\{0\})=S^1$ も $\R^2$ の閉集合である.
以上から, $S^1$ は $\R^2$ の有界閉集合である.

球面 $S^2$
定理Ｂより $S^2$ が $\R^{3}$ の中で有界閉集合であることを示せばよい.
$|x|\leq 1,\ |y|\leq 1 , |z|\leq 1$ より, $S^2$ は有界である.
$S^2$ が $\R^3$ の閉集合であることを示そう.
$f: \R^3 \to \R,$
$\ \ \ (x,y,z) \mapsto x^2+y^2+z^2-1$
とすると, $f$ は連続写像である.
$\{0\}$ は $\R$ の閉集合なので, その逆像 $f^{-1}(\{0\})=S^2$ は $\R^3$ の閉集合である.
以上から, $S^2$ は $\R^3$ の有界閉集合である.

※上と同様のやり方で $n$ 次元球面 $S^n$ もコンパクトであることを示せる.

例
射影空間 $\P^3$ の部分空間 $$ X:x^3+y^3+z^3+w^3=0 \subset \P^3 $$ はコンパクトである. ただし, 斉次座標を $(x:y:z:w)$ とする.

▼ 証明

[証明]
松本幸夫「多様体の基礎」より, 全射な連続写像 $S^n\to \P^n$ が存在する. $S^n$ はコンパクトなので, 定理Ｃより $\P^n$ はコンパクトである.
定理Ａより $X$ が $\P^3$ の閉集合であることを示せば証明は完了するので, それを示そう.
連続写像 $f:\P^3\to \R$ を次で定める. $$ (x:y:z:w) \ma \f{x^3+y^3+z^3+w^3}{|x|^3+|y|^3+|z|^3+|w|^3}. $$ $\{0\}$ は $\R$ の閉集合なので, その逆像 $f^{-1}(\{0\})=X$ は $\P^3$ の閉集合である.

コンパクトでない例

例
$\R$ はコンパクトでない.

▼ 証明

[証明]
$\R$ の開区間の族:
$$ \U:=\{(n-1,n+1)\subset \R$ $\mid n\in \Z\} $$ は $\R$ の開被覆である.
しかし, $\U$ の中から, どんな有限個の開区間をとってきても, $\R$ を覆うことができない.
よって, $\R$ はコンパクトでない.

[別解]
$\R$ は有界でないので, 定理Ｂより $\R$ はコンパクトでない.

例
$\R$ の半開区間 $(0,1]$ はコンパクトでない.

▼ 証明

[証明]
$\R$ の開区間の族:
$$ \U:=\{(1/n,\ 2)\subset \R$ $\mid n\in \N\} $$ は $(0,1]$ の開被覆である.
しかし, $\U$ の中から, どんな有限個の開区間をとってきても, $(0,1]$ を覆うことができない.
よって, $(0,1]$ はコンパクトでない.

[別解]
$(0,1]$ は $\R$ の閉集合でないので, 定理Ｂより $(0,1]$ はコンパクトでない.

例
一般線形群 $\GL_n(\R)$ はコンパクトでないことを示せ： $$ \GL_n(\R)=\{A\in M_n(\R)\mid \det(A)\neq 0\}$$ ※$M_n(\R)$ は $n$ 次の実正方行列の全体である.

▼ 証明

[証明]
写像 $f:\GL_n(\R) \to \R$ を $A \ma \det (A)$ で定めると, $f$ は連続写像である.
実際, 行列式 $\det (A)$ を展開すると多項式の形になり, それは連続関数である.
$\GL_n(\R)$ の $f$ による像： $$ f(\GL_n(\R))=\R\sm\{0\} $$ はコンパクトでない. したがって, 定理Ｃの対偶より $\GL_n(\R)$ はコンパクトでない.