Takatani Note

ネーター環でない例

この記事では, ネーター環でない例を3つ紹介します。
まず, ネーター環の定義を確認しておきしょう。

定義
環 $A$ がネーター環であるとは, $A$ のすべてのイデアルが有限生成のときをいう.

ネーター環は下記のとおり, どんなイデアルの増大列も有限回でストップするという重要な性質を持ちます。

定理
環 $A$ について次は互いに同値である.
(1) $A$ はネーター環である.
(2) $A$ のイデアルの増大列: \[I_1\subset I_2\subset I_3\subset \cdots\] に対して, ある自然数 $n$ が存在して, $I_n=I_{n+1}=\cdots$ となる.

ネーター環の例として, 単項イデアル整域, 多項式環 $k[x_1,\cdots,x_n]$ などが基本的です。

ネーター環でない例


$k[x_1,x_2,x_3,\cdots]$ はネーター環でない.

証明
[証明]
イデアルの増大列
\[ (x_1)\subsetneq (x_1,x_2)\subsetneq \cdots\] は狭義単調増大の無限列になる.
従って,$k[x_1,x_2,\cdots]$ はネーターでない.


$k[x,y]$ の部分環 $k[xy,xy^2,xy^3,\cdots]$ はネーターでない.

証明
[証明]
イデアルの増大列
\[ (xy)\subsetneq (xy,xy^2) \subsetneq (xy,xy^2,xy^3) \subsetneq \cdots \] は狭義単調増大である.

この例からネーター環の部分環は必ずしもネーターとは限らないことがわかります。


代数的整数の集合のなす環はネーターでない.

証明
[証明]
イデアルの増大列
\[ (\sqrt{2})\subsetneq (\sqrt[4]{2}) \subsetneq (\sqrt[8]{2})\subsetneq \cdots \] は狭義単調増大である.

【おまけ】ネーターでない非可換環


自由代数 $\C\langle x,y\rangle$ は左ネーターでも右ネーターでもない.
実際, イデアル:
$\ \ \ I=(x,xy,xy^2,\cdots)$
は左イデアルとして有限生成でない.
(※ $I$ は右イデアルとしては有限生成である. 実際, $I=xR$ である.)
したがって, $\C\langle x,y\rangle$ は左ネーターでない.
$\C\langle x,y\rangle$ が右ネーターでないことは同様に
$\ \ \ I=(x,yx,y^2x,\cdots)$
を考えればわかる.


自由代数 $\C\langle x,y\rangle$ はネーターでない.
実際, イデアル:
$\ \ \ J:=(xy+yx,x^2y+yx^2,x^3y+yx^3,\cdots)$
とすると, $J$ は両側イデアルとして有限生成でない.
よって, $R$ はネーターでない.

なお, 自由代数の中で有名なものと言えば, ワイル代数:
\[ \C\langle x,y\rangle /(yx-xy-1)\] という非可換代数があります。
このワイル代数は単純環なので, ネーターです。